En el sistema de coordenadas plano rectangular xOy, los vértices A y C del ABCO rectangular están en el semieje positivo del eje Y y del eje X respectivamente, el punto P está en AB, PA=1, AO =2.

(1)∵ La parábola y=mx2-x n pasa por el origen, ∴ n = 0.

∵El eje de simetría es la recta x=2, ∴-? 12m=2, la solución es m = 14.

La fórmula analítica de la parábola es: y = 14x2-x.

(2)①El valor de PEPF permanece sin cambios por las siguientes razones:

Como como se muestra en la hoja de respuestas 1 Como se muestra, si el eje x que pasa por el punto p es PG⊥ en el punto g, entonces PG = ao = 2.

∵PE⊥PF, PA⊥PG, ∴∠APE=∠GPF.

En Rt△PAE y Rt△PGF,

∠∠APE = ∠GPF∠PAE =∠PGF = 90,

∴Rt△PAE∽Rt△PGF.

∴PEPF=PAPG=12.

② existe.

La fórmula analítica de la parábola es: y=14x2-x,

Supongamos y=0, es decir, 14x2-x=0, la solución es: x=0 o x=4, ∴d(4,0).

y = 14x 2-x = 14(x-2)2-1, la coordenada m del vértice ∴ es (2,-1).

Si △DMF es un triángulo isósceles, existen tres situaciones posibles:

FM = FD. Como se muestra en la Figura 2:

Si la intersección m es MN⊥x-eje en el punto n, entonces MN=1, ND=2, MD = Mn2 Nd2 = 12 22 = 5.

Supongamos FM=FD=x, entonces nf = nd-FD = 2-X.

En Rt△MNF, del teorema de Pitágoras, NF2 MN2=MF2

Es decir: (2-x)2 1=x2, la solución es: x=54,

∴FD=54，OF=OD-FD=4-54=