¿Cuál es la esencia del Teorema de Pitágoras?

¡Según las investigaciones, los humanos conocen este teorema desde hace al menos 4.000 años! ¡También está registrado que este teorema tiene más de 300 demostraciones en todo el mundo!

El Teorema de Pitágoras es una perla en geometría, por lo que está lleno de encanto. Durante miles de años, la gente ha estado ansiosa por demostrarlo, incluidos matemáticos famosos, matemáticos aficionados, gente común, dignatarios distinguidos e incluso presidentes de países. Quizás sea precisamente por su importancia, simplicidad y atractivo que el Teorema de Pitágoras ha sido publicitado y demostrado cientos de veces. En 1940 se publicó un álbum de fotografías de demostraciones del teorema de Pitágoras, que recopilaba 367 métodos de demostración diferentes. De hecho, es más que eso. Los datos muestran que hay más de 500 formas de demostrar el teorema de Pitágoras, y Hua Hua, un matemático de finales de la dinastía Qing, proporcionó más de 20 maravillosos métodos de demostración. Esto no tiene comparación con ningún teorema.

Demostración del teorema de Pitágoras: entre los cientos de métodos de demostración, algunos son muy interesantes, algunos son muy concisos y algunos son muy famosos debido a sus identidades especiales.

Primero, se presentan las dos demostraciones más interesantes del teorema de Pitágoras, que se dice que provienen de China y Grecia respectivamente.

1. Método chino: dibuja dos cuadrados con longitudes de lados (a+b), como se muestra en la figura, donde A y B son lados rectángulos y C es la hipotenusa. Los dos cuadrados son congruentes, por lo que sus áreas son iguales.

Las imágenes de la izquierda y la derecha tienen cada una cuatro triángulos que son iguales a los triángulos rectángulos originales. La suma de las áreas de los triángulos izquierdo y derecho debe ser igual. Si se eliminaran los cuatro triángulos de las figuras izquierda y derecha, las áreas de las partes restantes de las figuras serían iguales. Quedan dos cuadrados en la imagen de la izquierda, con A y B como lados respectivamente. A la derecha hay un cuadrado de lado C. Por lo tanto

a^2+b^2=c^2.

Este es el método introducido en nuestro libro de texto de geometría. Intuitivo y sencillo, todo el mundo puede entenderlo.

2. Método griego: dibuja un cuadrado directamente en los tres lados de un triángulo rectángulo, como se muestra en la imagen.

Es fácil de ver,

△ABA'≔△AA'c.

Dibuja una línea vertical que pase por C hasta a' b', en It corta a AB en C' y A' b' en C'.

Las alturas de la base de △ABA′ y el cuadrado ACDA′′ son iguales, y el primero es la mitad del área del segundo. Las alturas de la base de △AA′″C y el rectángulo AA′″. C″ son iguales, y el primero es el área del segundo. De △ABA '≔△AA '' C, sabemos que el área del cuadrado ACDA ' es igual al área de ​. ​el rectángulo AA''C''C'. De manera similar, el área del cuadrado BB'EC es igual al rectángulo b''BC''.

Por lo tanto. , S cuadrado AA''B''B=S cuadrado ACDA'+S cuadrado BB'EC,

Es decir, a2+b2=c2

En cuanto al área de. ​​un triángulo es la mitad del área de un rectángulo con la misma base y altura, y se puede obtener utilizando el método de cortar y rellenar (pruébelo usted mismo aquí solo se utilizan relaciones de área simples). y los triángulos y rectángulos no están involucrados. Fórmula del área

Esta es la prueba dada por el antiguo matemático griego Euclides en "Elementos de geometría"

Los dos métodos de prueba anteriores son maravillosos porque utilizan teoremas muy diferentes y sólo se utilizan dos conceptos básicos de área:

(1) Las áreas de las congruencias son iguales;

(2) Dividir una figura en varias. partes, y la suma de las áreas de cada parte es igual al área de la figura original.

Este es un concepto completamente aceptable y simple que cualquiera puede entender. Los matemáticos de todas las épocas han utilizado muchos métodos para demostrar el teorema de Pitágoras. También hay muchas ilustraciones del teorema de Pitágoras, entre las cuales Zhao Shuang (también conocido como Zhao) demostró el teorema de Pitágoras en su artículo "Ilustraciones del colmillo de Pitágoras". se adjuntó a "Zhou Bi Suan Jing" usando el método de cortar y rellenar:

Como se muestra en la imagen, los cuatro triángulos rectángulos en la imagen están coloreados con cinabrio, el pequeño cuadrado en el medio es coloreado con amarillo, que se llama sólido amarillo medio, y el cuadrado con la cuerda como lado se llama cuerda sólida. Luego, después del mosaico y la combinación, confirmó que la relación entre las cuerdas de Pitágoras es consistente con el teorema de Pitágoras. es decir, "las hebras pitagóricas se multiplican entre sí y son cuerdas reales. Si se dividen, son cuerdas". ”

La demostración del teorema de Pitágoras realizada por Zhao Shuang muestra que los matemáticos chinos tienen ideas magníficas para demostrar problemas, que son simples e intuitivas.

Muchos eruditos occidentales han estudiado el teorema de Pitágoras y han proporcionado muchos métodos de demostración. Entre ellos, Pitágoras proporcionó la prueba más antigua registrada por escrito. Se dice que cuando demostró el teorema de Pitágoras se puso tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo. Por lo tanto, los países occidentales también llaman al Teorema de Pitágoras el "Teorema de las cien vacas". Desafortunadamente, el método de prueba de Pitágoras se perdió hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo.

La siguiente es la demostración del Teorema de Pitágoras de Garfield, el vigésimo presidente de los Estados Unidos.

Como se muestra en la figura,

s trapecio ABCD= (a+b)2

= (a2+2ab+b2), ①

Y S trapezoide ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED.

= ab+ ba+ c2

= (2ab+c2).②

Comparando las dos fórmulas anteriores, podemos obtener

a2 +b2=c2 .

Esta prueba es bastante simple porque usa la fórmula del área del trapezoide y la fórmula del área del triángulo.

En abril de 1876, Garfield publicó su demostración del Teorema de Pitágoras en el New England Journal of Education. Cinco años después, Garfield se convirtió en el vigésimo presidente de los Estados Unidos. Más tarde, para conmemorar su prueba intuitiva, simple, fácil de entender y clara del teorema de Pitágoras, la gente llamó a esta prueba la prueba "presidencial" del teorema de Pitágoras, y se convirtió en una buena historia en la historia de las matemáticas. .

Después de estudiar triángulos semejantes, sabemos que en un triángulo rectángulo, la altura de la hipotenusa divide el triángulo rectángulo en dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo original.

Como se muestra en la figura, en Rt△ABC, ∠ ACB = 90. Sea CD⊥BC, y base en d.Government

△BCD∽△BAC, △CAD∽△BAC.

¿Podemos obtener BC2=BD de △BCD∽△BAC? BA, ①

AC2=AD se puede obtener de △CAD∽△BAC? AB .②

Encontramos que sumando ① y ②, podemos obtener.

BC2+AC2=AB(AD+BD),

Y AD+BD=AB,

Entonces BC2+AC2=AB2, también Eso es

a2+b2=c2.

Esta también es una forma de demostrar el teorema de Pitágoras, y además es muy sencilla. Utiliza el conocimiento de triángulos similares.

En las muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, la gente también cometerá algunos errores. Si alguien da el siguiente método para demostrar el teorema de Pitágoras:

Según el teorema del coseno, sea △ABC, ∠c = 90°

c2=a2+b2-2abcosC,< /p >

CosC=0, porque ∠ c = 90. Por lo tanto

a2+b2=c2.

Este método de prueba aparentemente correcto y simple en realidad comete el error de la teoría de prueba circular. La razón es que la demostración del teorema del coseno proviene del teorema de Pitágoras.

La gente está interesada en el Teorema de Pitágoras porque puede generalizarse.

Euclides dio una generalización del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un lado recto sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el área de dos lados rectos semejantes sobre dos ángulos rectos. La suma de las áreas de los lados."

Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: “Si se hace un círculo teniendo como diámetro los tres lados de un triángulo rectángulo, el área del círculo con la hipotenusa como diámetro es igual al área del círculo que tiene como diámetro los dos lados rectángulos. La suma de las áreas de dos círculos.

El teorema de Pitágoras también se puede extender al espacio: Si los tres lados de un triángulo rectángulo se usan como lados correspondientes para hacer poliedros semejantes, entonces el área de la superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a el área de superficie de los dos poliedros en los lados rectángulos La suma de las áreas de superficie.

Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto.

Teorema de Pitágoras

El Teorema de Pitágoras también se llama Teorema del Cociente, Teorema de Pitágoras o Teorema de Pitágoras.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos.

Si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son A y B y la hipotenusa es C, ¿entonces A? +b? =c?

¡Según las investigaciones, los humanos conocen este teorema desde hace al menos 4.000 años!

El primer capítulo del primer trabajo matemático de China, "Zhou Pingxing Suan Jing", contiene el contenido relevante de este teorema: Zhou Gong preguntó: "Escuché que los médicos son buenos contando, así que quiero preguntar a los antiguos. para hacer un cálculo para una semana y el calendario de días “El cielo no puede elevarse paso a paso, y la tierra no se puede medir. ¿Cuantas veces puedo salir? Shang Gao respondió: "El método de conteo proviene del círculo, el círculo proviene del cuadrado, el cuadrado proviene del momento y el momento proviene del 9981". Por tanto, se considera que el momento es tres, la acción es cuatro y el diámetro es cinco. Afuera está el cuadrado, medio cuarto, y un círculo es * * *. Si obtienes que los momentos de tres, cuatro, cinco, dos * * * son veinte y veinticinco, eso se llama momento producto. Por lo tanto, la razón por la que Yu gobierna el mundo es porque este número es innato. "En otras palabras, un rectángulo doblado en diagonal se llama triángulo rectángulo. Si el gancho (lado derecho corto) es 3 y la cuerda (lado derecho largo) es 4, entonces la cuerda (hipotenusa) debe ser 5. De la conversación anterior , podemos ver claramente que la gente de la antigua China descubrió y aplicó el importante principio matemático del teorema de Pitágoras hace miles de años.

La primera prueba documentada en Occidente fue la de Pida. Probó el teorema de Pitágoras, estaba tan feliz que mató cien vacas para celebrarlo. Por lo tanto, los países occidentales también llaman al teorema de Pitágoras el "Teorema de las cien vacas". El método de prueba de Russ se ha perdido hace mucho tiempo y no tenemos forma de conocerlo. método de prueba.

De hecho, en actividades humanas anteriores, la gente ya se dio cuenta de algunos casos especiales de este teorema. Por ejemplo, se dice que los antiguos egipcios también usaban la regla de "enganchar tres hilos, cuatro". cuerdas y cinco" para determinar los ángulos rectos. Sin embargo, esta leyenda ha despertado dudas entre muchos historiadores de las matemáticas. Por ejemplo, el profesor M. Klein, un historiador de las matemáticas estadounidense, señaló una vez: "No sabemos si los egipcios. realizó el teorema de Pitágoras. Sabemos que tenían tiradores de cuerda (agrimensores), pero la idea de que le hacían un nudo a la cuerda, la dividían en tres secciones, 3, 4 y 5, y luego las usaban para formar un triángulo rectángulo, nunca ha sido aceptada. confirmado por cualquier literatura. Sin embargo, los arqueólogos han descubierto varias tablillas de arcilla babilónicas antiguas, terminadas alrededor del año 2000 aC. Según investigaciones de expertos, en una de ellas está grabada la siguiente pregunta: "En la pared hay un palo de 30 unidades de largo". Cuando su extremo superior se desliza hacia abajo 6 unidades, ¿a qué distancia está su extremo inferior de la esquina? "Este es un caso especial de un triángulo con una proporción de tres lados de 3:4:5; los expertos también encontraron que hay una extraña tabla de números grabada en otra tablilla de arcilla, en la que * * * están grabados con cuatro columnas y quince filas de números. Esta es una tabla de números pitagóricos: la columna de la derecha es el número de serie del 1 al 15, y las tres columnas de la izquierda son los valores de las hebras, los ganchos y las cuerdas. A * * * registra 15 grupos. . Esto demuestra que el teorema de Pitágoras en realidad ha entrado en el tesoro del conocimiento humano.

El teorema de Pitágoras es una perla en geometría. Durante miles de años, la gente ha estado ansiosa. Para demostrarlo, incluidos matemáticos famosos, pintores, matemáticos aficionados, gente común, dignatarios distinguidos e incluso el presidente del país. Tal vez sea porque el Teorema de Pitágoras es importante, simple, práctico y más atractivo que fue publicitado y demostrado repetidamente por cientos. de veces. El álbum de prueba del Teorema de Pitágoras recopila 367 métodos de prueba diferentes. De hecho, hay más que estos. Según los datos, hay más de 500 métodos de prueba del Teorema de Pitágoras, y el matemático Hua Hua a finales de Qing. Solo Dynasty proporcionó más de 20 maravillosos. Esto no tiene comparación con ningún teorema (la demostración detallada del teorema de Pitágoras no se incluye porque el proceso de demostración es complicado. ※.)

La razón por la que la gente está interesada. en el teorema de Pitágoras es. Porque se puede generalizar

Euclides dio un teorema generalizado del teorema de Pitágoras en "Elementos de geometría": "El área de un cateto recto sobre la hipotenusa de un recto. un triángulo son dos ángulos rectos. "La suma de las áreas de dos lados rectos semejantes."

Del teorema anterior se puede deducir el siguiente teorema: "Si se hace un círculo con los tres lados de un triángulo rectángulo como diámetro, y la hipotenusa como diámetro. El área de un círculo es igual a la suma de las áreas de dos círculos con dos lados rectángulos como diámetros."

El pitagórico El teorema también se puede extender al espacio: si los tres lados de un triángulo rectángulo se utilizan como lados correspondientes de poliedros semejantes, entonces el área de superficie del poliedro sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de los dos poliedros en los lados en ángulo recto.

Si se utilizan los tres lados de un triángulo rectángulo para formar una bola, el área de superficie de la bola sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de superficie de las dos bolas formadas sobre las dos lados en ángulo recto.

Y así sucesivamente.

Apéndice

En primer lugar, presentemos brevemente a Zhou He Shujing

"Zhou Kuai Kuai Jing" es uno de los diez libros sobre cálculo. Escrito en el siglo II a. C., originalmente se llamaba "Zhou Jie" y es el trabajo astronómico más antiguo de China. Desarrolla principalmente la teoría de cubrir el cielo y el método del calendario de cuatro estaciones de esa época. A principios de la dinastía Tang, se prescribió como uno de los materiales didácticos del Imperial College, por lo que pasó a llamarse "Zhou Kuai". El principal logro matemático de "Zhouyi Suanjing" es la introducción del teorema de Pitágoras y su aplicación en la medición. El libro original no demostró el teorema de Pitágoras, pero la prueba fue dada por Zhao Shuang en "Zhou Zhuan·Pythagorean Fang Notes".

"El libro de los cambios Suan Jing" utiliza un algoritmo de fracción bastante complejo y un método de raíz cuadrada.

2. La historia de la demostración del teorema de Pitágoras por parte de Garfield

En una tarde de fin de semana de 1876, en los suburbios de Washington, D.C., un hombre de mediana edad estaba dando un paseo, disfrutando del hermoso paisaje de la tarde. Entonces era un * * * de Ohio y miembro del partido Garfield. Mientras caminaba, de repente descubrió que en un pequeño banco de piedra cercano, dos niños estaban concentrados hablando de algo, discutiendo en voz alta y discutiendo en voz baja. Impulsado por la curiosidad, Garfield siguió el sonido y se acercó a los dos niños, tratando de descubrir qué estaban haciendo. Vi a un niño pequeño inclinándose y dibujando un triángulo rectángulo en el suelo con una rama. Entonces Garfield preguntó qué estaban haciendo. El pequeño dijo sin levantar la cabeza: "Disculpe señor, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa?". Garfield respondió: "Es cinco". El niño volvió a preguntar: " Si los dos lados rectángulos son 5 y 7 respectivamente, ¿cuál es la longitud de la hipotenusa de este triángulo rectángulo? "Garfield respondió sin pensar: "El cuadrado de la hipotenusa debe ser igual al cuadrado de 5 más el cuadrado de 7." El niño añadió. Dijo: "Señor, ¿puede decir la verdad?" Garfield se quedó sin habla por un momento, incapaz de explicar y muy infeliz.

Así que Garfield dejó de caminar e inmediatamente se fue a su casa para discutir el problema que le había planteado el pequeño. Después de pensar y calcular repetidamente, finalmente descubrió el motivo y dio un método de prueba conciso.

Respuesta: El contenido del Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C.

¿Respuesta? +b? =c?

Explicación: Los antiguos eruditos chinos llamaban al lado rectángulo más corto de un triángulo rectángulo "gancho", al lado rectángulo más largo "cuerda" y a la hipotenusa "cuerda", por lo que llamaron a esto El teorema se llama "Teorema de Pitágoras". El teorema de Pitágoras revela la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

Por ejemplo, si los dos ángulos rectos de un triángulo rectángulo miden 3° y 4°, entonces la hipotenusa C2 = a2+B2 = 9+16 = 25°.

Entonces la hipotenusa es 5.

Teorema de Pitágoras

Capítulo 1 Teorema de Pitágoras 1. ¿Cuál es el contenido del Teorema de Pitágoras? ¿Cómo se obtuvo el Teorema de Pitágoras? ¿Qué inspiración obtuviste de la demostración del teorema? Ejercicio: El cuadrado representado por la letra B en la imagen es ()a 12b . En △ABC, ∠c = rt∞. (65436 C =13. Entonces b =. (3) Si c =61, b =11. Entonces a =. (4) Si a∶c =3∶5, c =20, entonces b =. (5) Si √ BC 2 = cm2. Un lado y una hipotenusa del triángulo rectángulo miden 8 cm y 10 cm respectivamente. Entonces la altura de la hipotenusa es mayor que cm 3. El perímetro del triángulo isósceles es 20 cm. de la parte superior es de 6 cm, por lo que la longitud de la base es cm 4. En △ABC, AB = AC, ∠ BAC = 120. Entonces la altura de BC es AD = cm 5. Se sabe que △ABC, ∠ ACB. = 90. , CD⊥AB está en d, BC=, DB=2cm, luego BC cm, AB= cm, AC= cm 6. Como se muestra en la figura, alguien quiere ir al río, pero en realidad cae. el suelo debido a la influencia del flujo de agua. 7. Hay dos monos a una altura de 10 metros. Un mono baja del árbol y camina hacia el estanque a 20 metros de distancia del árbol. árbol y salta directamente a A. La distancia se calcula como una línea recta.

Si dos monos recorren la misma distancia, entonces el árbol es _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _árbol

8. Dado que los dos lados de Rt△ son 3 y 4 respectivamente, el tercero es el cuadrado. del lado es ().

a, 25 B, 14 C, 7 D, 7 o 25

9. La madre de Xiaofeng compró un televisor de 29 pulgadas (74 cm). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre 29 pulgadas es correcta?

A. Xiaofeng cree que se refiere a la longitud de la pantalla; b. la madre de Xiaofeng cree que se refiere al ancho de la pantalla;

C. circunferencia de la pantalla; d. Los miembros de ventas piensan que se refiere a la longitud de la diagonal de la pantalla

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2. ¿triángulo rectángulo?

Ejercicio:

Si las longitudes de los tres lados de un triángulo son (a+b)2=c2+2ab, entonces el triángulo es ().

A. Triángulo equilátero; b. Triángulo obtuso; c Triángulo rectángulo

1. = 0.

2. Como se muestra en la figura, si la longitud del lado del cuadrado pequeño es 1, entonces △ABC en la cuadrícula del cuadrado es ().

(a) Triángulo rectángulo (b) Triángulo agudo

(B) (C) Triángulo obtuso (d) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

Dada triángulo Las longitudes de los tres lados son 2n+1, 2n+2n, 2n+2n+1 (n es un entero positivo), entonces el ángulo máximo es igual a _ _ _ _ _ _ _ _ _.

3. Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero ABCD, AB=3cm, AD=4cm, BC=13cm, CD=12cm, ∠A = 90°, encuentra el área del cuadrilátero. ABCD.

Material de lectura:

Existe un teorema muy importante en trigonometría, que se llama teorema de Pitágoras y en China teorema de Shanggao. Porque en "Zhou Pingxing Suanjing" se menciona que Shang Gao dijo "enganche tres hilos, cuatro hilos y cinco". Aquí hay algunas pruebas.

El certificado original era inconsistente. Sean A y B los lados de un triángulo rectángulo y C la hipotenusa. Considere los cuadrados A y B en la siguiente figura con a+b en ambos lados. Divida A en seis partes y B en cinco partes. Como ocho pequeños triángulos rectángulos son congruentes, restando los iguales a los iguales, se deduce que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos derechos. Aquí, el cuadrilátero en B es un cuadrado con longitud de lado c, porque la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo rectángulo es igual a dos ángulos rectos. El método de prueba anterior se llama método de prueba de congruencia por resta. El gráfico B es el "gráfico de acordes" del clásico semanal de informática paralela.

La siguiente figura es la prueba dada por H. Perigal en 1873, que es un método de prueba de congruencia aditiva. De hecho, esta prueba fue redescubierta porque Labitibn Qorra (826 ~ 901) ya conocía este método de división. (Por ejemplo, la imagen de la derecha) ¿Una de las siguientes pruebas es H? ¿mi? Fue otorgado por Dewdney en 1917. También es un método de prueba para agregar congruencia.

Como se muestra en la figura de la derecha, el área del cuadrado con longitud de lado b más el área del cuadrado con longitud de lado a es igual al área del cuadrado con longitud de lado do.

Se dice que el método de prueba en la imagen siguiente es L? ¿Papá? Diseñado por Vinci (1452 ~ 1519), utiliza el método de prueba de congruencia de resta.

Euclides dio una demostración extremadamente inteligente del Teorema de Pitágoras en la Proposición 47 del Volumen 1 de "Elementos de Geometría", como la imagen de la página siguiente. Debido a los hermosos gráficos, algunas personas lo llaman "el turbante del monje", mientras que otros lo llaman "la silla de manos de la novia". El profesor Hua sugirió una vez enviar esta foto al universo para comunicarse con los "extraterrestres". El resumen de la prueba es:

(AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL .

Del mismo modo, (BC)2=KEBL

Por lo tanto

(AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2

El matemático y astrónomo indio Bhaskara (activo alrededor de 1150) da Esta es una prueba maravillosa. del teorema de Pitágoras y también una prueba dividida. Divide el cuadrado de la hipotenusa en cinco partes como se muestra a continuación. Cuatro de ellos son triángulos que son congruentes con el triángulo rectángulo dado; algunos son cuadrados pequeños con la diferencia entre los dos lados rectángulos como la longitud del lado.

Es fácil volver a juntar estas cinco partes para obtener la suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos. De hecho,

Poshgaro también dio una prueba en la siguiente figura. Dibuja la altura en la hipotenusa del triángulo rectángulo para obtener dos pares de triángulos semejantes, de modo que tengamos

c/b=b/m,

c/a=a/ n,

cm=b2

cn=a2

Suma ambos lados

a2+b2=c(m+n)= c2

Esta prueba fue redescubierta por el matemático británico J. Wallis (Wallis, 1616 ~ 1703) en el siglo XVII.

Varios presidentes estadounidenses tienen conexiones sutiles con las matemáticas. ¿gramo? Washington fue una vez un famoso topógrafo. t? Jefferson promovió vigorosamente la educación matemática superior en los Estados Unidos. Lincoln estudió lógica estudiando los Elementos de Euclides. Aún más creativo fue el decimoséptimo director, J.A. Garfield (1831 ~ 1888), quien tenía un gran interés y un talento extraordinario en las matemáticas elementales cuando era estudiante. En 1876, (entonces miembro de la Cámara de Representantes y presidente electo de los Estados Unidos cinco años después) dio una hermosa demostración del teorema de Pitágoras, que se publicó en el New England Journal of Education. La idea de la prueba es utilizar las fórmulas de áreas de trapecios y triángulos rectángulos. Como se muestra en la página siguiente, es un trapezoide rectángulo que consta de tres triángulos rectángulos. Usa diferentes fórmulas para encontrar la misma área

Es decir,

a2+2ab+b2=2ab+c2

a2+b2=c2

Este tipo de prueba suele ser de interés para los estudiantes de secundaria cuando aprenden geometría.

Hay muchas demostraciones ingeniosas de este teorema (se dice que hay cerca de 400 tipos). Aquí hay algunos ejemplos para estudiantes, todos probados usando rompecabezas.

La prueba 1 se muestra en la Figura 26-2. En el exterior del triángulo rectángulo ABC, haz los cuadrados ABDE, ACFG y BCHK, cuyas áreas son c2, b2 y a2 respectivamente. Sólo nos falta demostrar que el área de un cuadrado grande es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados pequeños.

Saque CM‖BD por C, cruce AB por L y conecte BC y CE. Porque

AB=AE, AC=AG ∠CAE=∠BAG,

Entonces △ACE≔△AGB

Pero

Por lo tanto

SAEML=SACFG (1)

También se puede demostrar el mismo método.

SBLMD=SBKHC (2)

(1)+(2)

SABDE=SACFG+SBKHC,

es decir, c2= a2+b2

La prueba 2 se muestra en la Figura 26-3 (Figura Zhao). Se utilizan ocho triángulos rectángulos ABC para formar un cuadrado grande CFGH con una longitud de lado a+b. En su interior hay un cuadrado inscrito ABED con una longitud de lado C, como se muestra en la figura.

SCFGH=SABED+4×SABC,

Entonces a2+b2=c2

La prueba 3 se muestra en la Figura 26-4 (Mapa de Mei Wending).

Dibuja un cuadrado ABDE hacia afuera sobre la hipotenusa AB del ángulo recto △ABC, y dibuja un cuadrado ACGF sobre el ángulo recto AC. Se puede demostrar (ligeramente) que expandir GF debe pasar E; extender CG a k, hacer GK=BC=a, conectar KD, hacer DH⊥CF en h, entonces DHCK es un cuadrado con longitud de lado a. >

El área del pentágono

Por un lado,

S=área ABDE del cuadrado + 2 veces △área ABC

=c2 +ab (1)

Por otro lado,

S=área cuadrada ACGF + área cuadrada DHGK

+2 veces △área ABC

=b2+ a2+ab. (2)

De (1) y (2)

c2=a2+b2

Demuestre 4 como se muestra en la Figura 26-5 (diagrama de Xianmingda) , se forma un cuadrado ABDE sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo ABC, y se completa un cuadrado BFGJ con longitud de lado B a partir de los dos ángulos rectos CA y CB del triángulo rectángulo ABC (Figura 26-5).

Se puede probar (omitir) que la línea de extensión de GF debe pasar d. Extender AG hasta k, de modo que GK=a, y sea EH⊥GF h, entonces EKGH debe ser un cuadrado con una longitud de lado igual a a

Conjunto cinco El área del polígono EKJBD es s. Por un lado

S=SABDE+2SABC=c2+ab (1)

Por el otro. mano,

S=SBEFG +2? S△ABC+SGHFK

=b2+ab+a2

De (1) y (2)

c2=a2+b2

Yang Zuomei;

Foto de He Mengyao;

Foto de Chen Jie;

Foto de Hua Fangheng

Todos están verificados por área: Un área grande es igual a la suma de varias áreas pequeñas. Usa diferentes representaciones de la misma área para obtener la ecuación y luego simplifícala para obtener el teorema de Pitágoras. ) ver /21010000/VCM/0720 gdl. doctor.