Simulación numérica de la ecuación de onda elástica en diferencias finitas de malla variable
(1. Instituto de Investigación para la Exploración y el Desarrollo del Petróleo de China, Beijing 100038; 2. Universidad de Geociencias de China (Beijing), Beijing 100083; 3. China Universidad Youshi (Beijing), Beijing 102249
El estudio de las reglas de propagación de las ondas sísmicas y las características de respuesta sísmica en medios complejos requiere la simulación numérica de ecuaciones de ondas elásticas bajo división de cuadrícula fina y la simulación numérica bajo cuadrículas pequeñas. La complejidad computacional es enorme, por lo que el cálculo de cuadrícula variable es una forma efectiva de reducir la complejidad computacional. Este artículo proporciona un método para implementar cálculos diferenciales de cuadrícula variable en el área media compleja local y se utiliza el cálculo de cuadrícula fina en las áreas restantes. En el área de transición de las dos cuadrículas, la conexión de transición de la propagación de ondas se logra cambiando el operador de diferencia y la interpolación del campo de ondas. Las características de este método de implementación son: ① Todos los nodos de cálculo se calculan utilizando cuadrículas escalonadas (2) Cuando; al estimar la derivada espacial de primer orden, se mantiene la simetría de los nodos de cálculo diferencial; ③ Se puede seleccionar cualquier orden de precisión de cálculo. Los resultados del cálculo de este método muestran que la transición entre cuadrículas gruesas y finas no afectará la simulación de la sísmica. propagación de ondas, reduciendo así los cálculos.
Ecuación de onda elástica; simulación numérica de cuadrícula variable; dispersión diferencial
Simulación elástica en cuadrícula escalonada de espaciado variable
, Wang 1, 2, Qu Shouli 1, Wei Xiucheng 1, Yuan 3
(1. Instituto de Investigación de Desarrollo y Exploración del Petróleo de Sinopec, Beijing 100083; 2. Universidad de Geociencias de China, Beijing 100083; 3. Universidad del Petróleo de China, Beijing 102249)
Para estudiar las reglas de propagación de las ondas sísmicas y las características de respuesta sísmica en medios complejos, es necesario utilizar cuadrículas pequeñas en simulaciones de ecuaciones de ondas elásticas y realizar cálculos en cuadrículas escalonadas con espaciado variable. es una solución eficaz que puede reducir la gran cantidad de cálculo causada por el uso de métodos de cálculo de cuadrículas pequeñas. Este artículo propone un método de diferencias finitas, en el que se utilizan cuadrículas pequeñas para medios complejos locales y cuadrículas grandes para otros medios. Las características de este método incluyen: (1) mantener el modo de cálculo de cuadrícula escalonada en todos los nodos operativos; (2) mantener la simetría de los nodos operativos al estimar las primeras derivadas espaciales (3) cualquier orden de precisión disponible en los cálculos de diferencias finitas; Los resultados muestran que el uso de ambas mallas no afecta la simulación de la propagación de ondas sísmicas y no solo reduce los cálculos.
Palabras clave simulación de ecuación de onda elástica dispersión de malla escalonada
Simulación numérica sísmica (hacia adelante). Simulación) en la exploración de yacimientos complejos de petróleo y gas. Juega un papel cada vez más importante en el desarrollo de yacimientos. Para utilizar métodos sísmicos para predecir yacimientos, primero debemos estudiar las características de respuesta sísmica del yacimiento y descubrir los atributos sísmicos más importantes. relevante para el yacimiento, y luego optimizar los métodos técnicos de predicción del yacimiento. La simulación es un medio indispensable para estudiar las características de respuesta sísmica de los yacimientos.
Es necesario llevar a cabo una simulación numérica sísmica de yacimientos complejos o cuerpos geológicos. en una cuadrícula espacial lo suficientemente pequeña para garantizar que los detalles de los cambios locales en el modelo geológico puedan reflejarse con precisión en los resultados de la simulación numérica, es decir, garantizar que los resultados de la simulación numérica puedan reflejar con precisión los cambios en el campo de ondas causados por los pequeños. -Heterogeneidad de escala del medio. En el cálculo directo, para garantizar la convergencia del cálculo, la frecuencia de muestreo en el espacio y el tiempo debe cumplir las condiciones de convergencia. De acuerdo con las condiciones de convergencia del cálculo directo de diferencias finitas de la ecuación de onda elástica [1, 2], al tiempo que se reduce la escala de la cuadrícula de cálculo espacial, el tamaño del paso de cálculo recursivo en la dirección del tiempo también debe reducirse proporcionalmente, es decir, el número de puntos de la cuadrícula de cálculo espacial aumentará n veces, lo que significa que la cantidad de cálculo aumentará n veces. Entonces, si usa una cuadrícula pequeña para calcular todo el modelo, el problema es que la cantidad de cálculo es demasiado grande. Incluso para cálculos directos de modelos bidimensionales, como el uso de una cuadrícula de cálculo de 1 m × 1 m o menos, la complejidad computacional es asombrosa cuando se utiliza un modelo geológico que puede reflejar la profundidad real de reflexión sísmica. La simulación numérica real generalmente está dirigida a un objetivo geológico (o yacimiento) específico. El objetivo geológico solo representa una pequeña parte de todo el modelo, y la cuadrícula de cálculo solo requiere densificación en este objetivo geológico. Por lo tanto, el uso de cálculo de cuadrícula variable, es decir, usar una cuadrícula de cálculo más pequeña dentro del área del cuerpo geológico objetivo y usar una cuadrícula de cálculo más grande fuera del área, puede reducir en gran medida el número de nodos de la cuadrícula de cálculo, permitiendo así reducir un área grande de la cantidad de cálculo hasta cierto punto.
Para reducir la cantidad de cálculo y mejorar la eficiencia del cálculo de la simulación numérica, Jastram C y Tessmer E propusieron un método de cálculo de cuadrícula variable unilateral [3] y también enfatizaron la cuadrícula variable. uso de tecnología informática, pero no se proporciona ningún método de implementación específico. La clave para el cálculo del diferencial de red variable es resolver los problemas de transición y convergencia del campo de ondas donde cambia la escala de la red, asegurando que el área de transición no produzca ruido de cálculo obvio debido a los cambios de escala de la red. El algoritmo de diferencia de cuadrícula escalonada se basa en la simulación numérica de la ecuación de onda elástica bidimensional. Al introducir la fórmula de diferencia de precisión de alto orden de la primera derivada bajo la condición de nodos espaciados desiguales, combina la interpolación de precisión de alto orden de. Se proporciona el campo de ondas y el cálculo de nodos en las áreas de transición de cuadrícula gruesa y fina. Se proporciona el método de implementación del cálculo directo de cuadrícula variable de la ecuación de onda elástica. Los resultados de la aplicación muestran que este método puede obtener una precisión de cálculo satisfactoria sin causar ruido de cálculo adicional obvio debido a cambios en la escala de la cuadrícula en la zona de transición.
1 aproximación diferencial de precisión de alto orden para estimar derivadas de primer orden de nodos simétricos con espaciado arbitrario
En el proceso de cálculo recursivo a lo largo de la dirección del tiempo, la precisión de estimación del primer Se mejora la derivada de orden del espacio de función del campo de onda. Es uno de los contenidos clave de la simulación numérica de la ecuación de onda elástica. Para cuadrículas de diferencias fijas, se puede lograr una estimación de alta precisión de derivadas espaciales aplicando operadores de diferencias de precisión de alto orden [1, 2] con nodos equidistantes. Para el caso en el que la malla fina no se fija localmente, el operador de diferencia de precisión de alto orden de nodos equidistantes mencionado anteriormente se puede aplicar a las regiones de malla gruesa y fina respectivamente, y en la región de transición entre la malla gruesa y la fina. malla, Los valores de la primera derivada se estiman utilizando el operador de diferencia para el espaciado de nodos arbitrario que se deriva a continuación.
Supongamos que 2N nodos de cuadrícula están distribuidos simétricamente alrededor del punto x0 en la dirección X, y sus coordenadas X son x0-qn δ x/2,..., x0-q1δ x/2, xq1δ x / 2,…,xqn δ x/2, como se muestra en la Figura 1. La función f(x) puede estar dada por los valores de la función f (x0-Qnδ x/2),..., f (x0-Q1δ x/2), f (xQ1δ x/2) en 2N nodos. Desarrollado por Taylor:
Figura 1 Diagrama esquemático de nodos de cálculo simétrico para estimar primeras derivadas
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Se obtiene restando dos expresiones.
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Omita el término de error o ((qi δ x/2) 2n+1) en la fórmula (1) y use f( i)( La estimación (x0) de x0) reemplaza la f(i)(x0) exacta y se escribe en forma matricial, entonces tenemos
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Memorial
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Supongamos que A- 1 es el inverso de A, es decir, AA-1=I, entonces (A -1)Tat=I, es decir, (A-1)T es el inverso de AT, entonces AT (A-1) T = I.
AT(A-1)te 1 = e 1(3)
(3) Según la ecuación (2)
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Vector (A-1)Te1=(c1, c2,..., cN)T, si se sustituye en la fórmula (4), entonces existe
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Y de la fórmula (3) y (A-1) Te1=(c1, c2,...,cN)T, sabemos que cn (n=1, 2,... .,n) satisface la ecuación.
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La ecuación (5) es la fórmula para calcular la primera derivada de nodos simétricos en cualquier intervalo, cn (n = 1, 2 ,...n) Obtenido resolviendo la ecuación (6). Si qn=2N-1(n=1,2,...,n), entonces cn(n=1,2,...,n) es el coeficiente diferencial con aproximación diferencial de precisión de orden 2n en el caso de equidistantes nodos.
f(x) se transforma al dominio del número de onda mediante la transformada de Fourier, es decir, f(x) F(k), y la primera derivada de f(x) se transforma en f(1) (x) .i2πkF (k), es decir, f(x) puede considerarse como un filtrado lineal espacial de f(x) (6544 ¿Usar los valores de puntos discretos de F(x) para estimar? f/? El resultado de x (x) también se considera como f. El resultado del filtrado lineal espacial de (x) es (k). De la ecuación (5), se puede ver que (k) = CNSIN (π kqn δ x) Memorial<. /p>
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Obviamente, si (x) se utiliza como estimación de f(1)(x), su precisión puede reflejarse en la cercanía de (k) a i2πk, es decir, e (k). >
Estimación en diferencias finitas de la siguiente derivada de la cuadrícula variable
Usando el cálculo de la cuadrícula variable, tomando la estimación de la Como ejemplo de la primera derivada en la dirección X, se explican dos métodos para procesar la transición de la cuadrícula: el espaciado de los nodos de la cuadrícula es δx y el espaciado de los nodos de la cuadrícula gruesa es mδx, es decir, el espaciado de los nodos de la cuadrícula gruesa es m veces el de la cuadrícula fina. espaciado de nodos Para facilitar la expresión, también podríamos tomar m=3 y usar una precisión de décimo orden, es decir, N= 5, como se muestra en la Figura 2. Esta figura muestra los nodos de malla gruesa que representan los nodos densos; malla gruesa, que junto con los nodos de malla gruesa constituyen los nodos de malla fina; "+" es la posición del punto guía ① ~ ⑥ son los seis puntos de cálculo de derivadas de primer orden en el área de transición entre cuadrículas gruesas y finas. Los nodos de cuadrícula utilizados para calcular las derivadas de primer orden de estos seis puntos están marcados en la Figura 2, donde ① y los puntos de cálculo en el área de cuadrícula grande de la izquierda se clasifican como cálculos de cuadrícula gruesos. el área en el lado derecho se calcula de acuerdo con la cuadrícula fina; ② ~ ⑤ Se calculan cuatro puntos de acuerdo con la fórmula (5)
Figura 2 Diagrama esquemático del cálculo de la zona de transición
Figura 3 Respuestas de filtro correspondientes a operadores de diferencia en diferentes puntos de cálculo, precisión de décimo orden (N=5)
① ~ ⑥ son los operadores de diferencia correspondientes a los puntos de cálculo en la Figura 2 respectivamente La respuesta del filtro; ⑦ es la respuesta del filtro ideal.
La Figura 3 muestra la respuesta del filtro del operador de diferencia derivada de primer orden estimado para los puntos de cálculo de la derivada del ① al ⑥ en la Figura 2. Para el punto de cálculo ⑥, dado que los nodos involucrados en el cálculo son 2N nodos de cuadrícula adyacentes en la cuadrícula fina, es obvio que la respuesta del filtro del operador diferencial es la más cercana a la respuesta del filtro ideal y tiene la mayor precisión para el punto de cálculo ①; , los nodos involucrados en el cálculo son aproximados. Para los nodos de cuadrícula 2N adyacentes en la cuadrícula, la respuesta del filtro del operador diferencial está cerca de la respuesta del filtro ideal solo en números de onda bajos, con la precisión más baja para los puntos de cálculo ② ~ ⑤; , la precisión está entre los puntos de cálculo ① y ⑤, con la participación A medida que aumenta el número de puntos de corta distancia calculados, la precisión se vuelve cada vez mayor.
La precisión de la estimación de la derivada de primer orden en la zona de transición entre malla gruesa y malla fina es inconsistente, lo que puede causar reflexión y ruido de cálculo adicional, y ahora se analiza.
La precisión del método de diferencias finitas en la estimación de la primera derivada del espacio depende de la dispersión diferencial. La respuesta del filtro del operador de diferencias finitas solo puede aproximarse a la respuesta del filtro del operador derivada de primer orden en el rango de número de onda bajo, y habrá una gran dispersión en el rango de número de onda alto. Sea kα el número de onda más alto que puede aceptar el nivel de dispersión de frecuencia diferencial, es decir, en la región de número de onda bajo donde k ≤ kα, (k) está lo suficientemente cerca de i2πk, la dispersión es muy pequeña y el impacto en la Los resultados finales de la simulación directa pueden ignorarse. Supongamos kα=αkN, donde kn = 1/(2δ x), 0 < α < 1, y el valor de α está determinado por el operador de diferencia. Por ejemplo, para un operador de diferencia con precisión de décimo orden en una cuadrícula uniforme, se puede considerar que α es alrededor de 0,6. También se supone que el número de onda máximo del campo de ondas sísmicas simulado es kmax, que está determinado por la frecuencia más alta fmax y la velocidad más baja vmin de la wavelet, es decir, kmax = fmax/vmin. Para evitar que los resultados de la simulación numérica en diferencias finitas se vean afectados significativamente por la dispersión diferencial, δ Tecnología de desarrollo
La ecuación (7) es la condición que debe cumplir la longitud del paso espacial discreto δx para garantizar la precisión de cálculos de simulación numérica. Siempre que se cumpla la condición (7), el error de dispersión de frecuencia diferencial se puede ignorar dentro del rango del número de onda [0, kmáx]].
Cuando se utilizan cálculos de cuadrícula variable, la escala de cuadrícula gruesa también debe satisfacer la fórmula (7), es decir,
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De lo contrario, el campo de ondas producirá un fuerte ruido de dispersión cuando se propague en el área de la rejilla gruesa. Si se cumple la ecuación (8), entonces se debe cumplir la condición (7). De la conclusión analítica de la precisión del operador de diferencia en la zona de transición de las dos cuadrículas, se puede ver que el operador de diferencia en la zona de transición cumple con los requisitos de precisión en este momento, es decir, k α > kmax. Dado que todos los operadores diferenciales pueden cumplir el requisito de no producir ruido de dispersión diferencial obvio, los cambios en los operadores diferenciales no causarán errores de cálculo obvios.
Por lo tanto, la conclusión del análisis anterior es que, siempre que el cálculo aproximado de la cuadrícula cumpla con los requisitos de precisión, es decir, no se producirá ninguna dispersión de diferencia obvia, según el método de cálculo descrito en este artículo. No aparece en la zona de transición de las dos cuadrículas. Hay un ruido de reflexión obvio y la precisión de la simulación de la propagación del campo de ondas básicamente no se ve afectada por los cambios en la cuadrícula de cálculo.
Implementación de una simulación directa en diferencias finitas de la ecuación de onda elástica de rejilla variable
3.1 Método de implementación
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La implementación del método de diferencias finitas de cuadrícula variable se ilustra mediante la simulación numérica de la ecuación de onda elástica bidimensional. La ecuación de onda elástica bidimensional se utiliza para realizar cálculos directos de diferencias finitas. La fórmula recursiva en la cuadrícula escalonada es la siguiente
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. En la fórmula anterior, y representa (x, z, t) y? Estimación en diferencias finitas de z(x, z, t), etc. En la fórmula (10), ρ, c11, c13, c33 y c55 están todos vacíos y sus subíndices espaciales se omiten por razones de simplicidad. En el cálculo, el límite superior adopta condiciones de contorno libres y otros límites numéricos adoptan condiciones de contorno de absorción PML [4, 6].
Figura 4 Disposición de los nodos de cálculo en cuadrícula gruesa y cuadrícula fina
Bajo una determinada escala de cuadrícula, el cálculo de cuadrícula escalonada tiene la ventaja de una alta precisión. Cuando se utilizan cuadrículas variables, es decir, se divide el modelo localmente en cuadrículas finas, la clave es organizar los nodos de cálculo de manera razonable para garantizar que todos los nodos de cálculo puedan utilizar el método de cálculo de cuadrícula escalonada. La Figura 4 toma como ejemplo la relación de cuadrícula gruesa y fina igual a 3 para mostrar el diseño del nodo informático adoptado en este artículo. No es difícil ver que para mantener el modo de cálculo de cuadrícula escalonada, la relación de escala mx y mz de las cuadrículas gruesa y fina en las direcciones X y Z debe ser un número impar.
Según la posición del nodo, la estimación en diferencias finitas de la derivada de primer orden del espacio en el cálculo recursivo del campo de onda se puede dividir en tres situaciones (para simplificar la ilustración, también podríamos establezca la longitud del operador de diferencia N = 2, es decir, precisión de cuarto orden):
(1) Los nodos de cálculo fuera del área de la cuadrícula fina (fuera del marco de línea continua en la Figura 4) se calculan utilizando una cuadrícula gruesa ;
(2) Uso de cuadrícula fina Cálculo de cuadrícula Los nodos de cálculo del área de cuadrícula fina (en el cuadro de línea de puntos en la Figura 4);
(3) Calcular el límite de cuadrícula fina área (en el cuadro de línea punteada y el cuadro de línea continua en la Figura 4) según el método descrito en la Figura 2), pero antes del cálculo, es necesario interpolar para obtener los valores del campo de onda de algunos puntos involucrados en el cálculo ( las posiciones de las puntas huecas en la Figura 4). Este artículo utiliza el método de interpolación lagrangiana y el orden de interpolación es el mismo que el del operador de diferencia.
3.2 Ejemplo
Primero, utilice un modelo de medio uniforme para probar si los cambios de red tienen un impacto significativo en la propagación del campo de ondas simulado.
Como se muestra en la Figura 5, el tamaño del modelo es 1000m×1000m, vP=3000m/s, vS=1800m/s, ρ=2.4g/cm3, y la fuente vz está ubicada en el centro de el modelo. Se utilizan dos cuadrículas para los cálculos directos. El primer tipo de división de cuadrícula se muestra en la Figura 5 (a), en la que la sección de profundidad de 225 ~ 275 m (parte sombreada en la figura) usa una cuadrícula fina de 1 mx 1 m, y el resto usa una cuadrícula gruesa de 5 mx 5 m. se puede utilizar para El cálculo directo se realiza utilizando una cuadrícula variable, y los momentos en la Figura 5 (b) y (c) son 160 ms respectivamente. La segunda división de la cuadrícula se muestra en la Figura 5 (d), en la que se usa una cuadrícula fina de 1 mx 1 m para la sección de profundidad de 725 ~ 775 m (parte sombreada en la figura) y una cuadrícula gruesa de 5 mx 5 m para el resto. Esto se puede utilizar para que el cálculo de avance se realice utilizando una cuadrícula variable. Los pares de torsión en las Figuras 5 (e) y 5 (f) son 160 ms respectivamente. Al comparar los resultados de los cálculos de los dos grupos, se puede ver que casi no hay diferencia entre las Figuras (b) y las Figuras (e), Figuras (c) y Figuras (f), es decir, el uso local de mallas finas tiene ningún impacto obvio en la propagación del campo de ondas. Para ver más claramente, la propagación de ondas a lo largo de una línea vertical que pasa por el foco se muestra en la Figura 6 (mostrada por la línea discontinua en la Figura 5 (d)). Puede verse por la consistencia de las ondas que se propagan en las direcciones superior e inferior que no se genera ruido de reflexión cuando las ondas pasan a través del área de la rejilla fina.
Figura 5 Cálculo de cuadrícula variable y corte del campo de ondas
En segundo lugar, a través de los resultados del modelado directo de modelos de medios de orificios circulares de diferentes escalas, se observa el efecto del cálculo diferencial de cuadrícula variable.
Como se muestra en la Figura 7, el tamaño del modelo es 1500m×600m, vP=5000m/s, vS=3000m/s, ρ=2,6g/cm3. Hay radios distribuidos a una profundidad de 500m. la mitad del modelo Tres agujeros circulares de 5m, 10m y 20m con un espaciado de 200m. Las observaciones sísmicas de campo simuladas muestran que la separación entre disparos es de 10 m, la separación entre canales es de 5 my la longitud del conjunto es de 1500 m. La fuente de excitación está en el medio del modelo y la frecuencia principal de la onda de excitación es de 40 Hz. Utilizando el cálculo de cuadrícula variable, la escala de cuadrícula gruesa es de 5 mx 5 m y la escala de cuadrícula fina (dentro del cuadro de línea de puntos blanca en la Figura 7) es de 1 mx 65438+. La Figura 9 (a) es el registro del punto de excitación en el medio del modelo; la Figura 9 (b) es el registro del punto de disparo correspondiente a la Figura 9 (a). El modelo completo se calcula con una cuadrícula fina de 1 mx. 1m. Al comparar los dos registros de disparos, se puede ver que no hay mucha diferencia entre los dos, lo que demuestra que el uso del cálculo de cuadrícula variable no reduce básicamente la precisión del cálculo. El cálculo de la cuadrícula variable reduce en gran medida la cantidad de cálculo. En lo que respecta a este modelo, si todo el modelo se calcula con una cuadrícula de 1 mx 1 m, la cantidad de cálculo es aproximadamente 15 veces mayor que la del cálculo de cuadrícula variable anterior. No es difícil ver que si los cálculos directos se realizan en modelos de mayor escala, es más necesario utilizar cálculos de cuadrícula variable para reducir la cantidad de cálculos.
Figura 6 Experimento sobre la influencia de la malla variable en la propagación del campo ondulatorio
Figura 7 Modelo dieléctrico con agujeros circulares
4 Conclusión
En la simulación numérica de medios complejos, el cálculo de cuadrícula variable es una forma eficaz de resolver la contradicción entre la precisión del cálculo y la cantidad del cálculo. El análisis teórico y los resultados de la simulación numérica muestran que el método de simulación directa de ecuaciones de ondas elásticas adecuado para los cálculos de cuadrículas variables en este artículo mantiene la alta precisión de las diferencias de alto orden en cuadrículas escalonadas y no produce ruido de reflexión artificial en la zona de transición entre gruesa y cuadrículas finas. Un método eficaz y práctico para reducir la cantidad de cálculo y al mismo tiempo garantizar la precisión del cálculo.
Figura 8 Sección sin desplazamiento del modelo de agujero circular
Figura 9 Comparación de registros de disparo calculados con cuadrícula variable y cuadrícula pequeña fija
Referencia
p>[1]Dong. Descomposición en diferencias de alto orden de ecuaciones de ondas elásticas de primer orden en cuadrículas escalonadas. Acta Geofísica, 2000, 43(3):411~419.
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