Análisis del espectro de señales analógicas DFT basado en transformada discreta de Fourier
Sin embargo, la teoría de la transformada de Fourier demuestra que el espectro de una señal de tiempo finito es infinitamente amplio y, a la inversa, la duración de una señal de espectro finito también será infinita. Por lo tanto, al muestrear de acuerdo con el teorema de muestreo, la secuencia de muestreo debe ser infinitamente larga, lo que no satisface la condición DFT. En la práctica, para señales con un espectro más amplio, para evitar el "aliasing de espectro" después del muestreo en el dominio del tiempo, generalmente se usa un prefiltro para filtrar componentes de alta frecuencia con amplitudes más pequeñas, de modo que la salida de la señal sea menor que la frecuencia de plegado; de manera similar, para señales con una duración prolongada, demasiados puntos de muestreo también causarán dificultades de almacenamiento y cálculo. Generalmente, solo se intercepta un número limitado de puntos para el cálculo. De lo anterior se puede ver que el análisis espectral de señales analógicas mediante DFT solo puede ser aproximado, y el grado de aproximación depende del ancho de banda de la señal, la frecuencia de muestreo y la longitud de interceptación.
El par de transformada de Fourier de la señal analógica xn(t) es
x(jω)={-∞,+∞}x(t)*exp^-jωt dt< /p >
x(t)=1/2π{-∞,+∞} x(jω)*e^jωt dt
El método DFT se utiliza para calcular el par de transformación de la siguiente manera:
(a) Muestreo de xn(t) a intervalos de t, es decir, xn(t)|t=nT= xa(nT)= x(n), porque
t→nT, dt→T, {-∞, +∞}→∑n={-∞,+∞}
Así que adelante
x(jω)≈∑ n={-∞,+∞} x(nt)*exp^-jωnt*t
x(nT)≈1/2π{0,ωs} x(jω)*e^jωnt dω
(b) Truncar la secuencia x(n) = xn(t) en una secuencia finita que contenga n puntos de muestreo.
x(jω)≈t∑n={0,n-1}x(nt)*exp^-jωnt*t
Debido al muestreo en el dominio del tiempo, la frecuencia de muestreo es fs =1/T, por lo que el dominio de la frecuencia produce una extensión periódica con fs como período. Si el dominio de la frecuencia es una señal de banda limitada, es posible que no se produzca aliasing del espectro y se convierta en una secuencia espectral periódica continua, siendo el período del espectro fs = 1/t.
(c) Para cálculos numéricos, también se requiere muestreo en el dominio de la frecuencia, es decir, se toman n muestras dentro de un ciclo del dominio de la frecuencia, fs = NF0, y el intervalo entre cada muestra es F0 . El muestreo en el dominio de la frecuencia convierte la expresión integral en el dominio de la frecuencia en una expresión de suma y obtiene la continuación periódica de la serie de tiempo discreta truncada en el dominio del tiempo, siendo el período de tiempo T0=1/F0. Entonces hay
ω→kω0, dω→ω0, {-∞, +∞} dω→∑n = {-∞, +∞}ω0
T0=1/F0 = N/fs=NT
ω0 = 2πF0
ω0T =ω0/fs = 2π/N
x(jkω0)≈t∑n={0 , n-1}x(nt)*exp^-jkω0nt