¿Qué son la electroforesis y el movimiento browniano?
El movimiento browniano también se llama movimiento browniano.
El proceso Wiener, como primer proceso a estudiar en profundidad.
El proceso es el mismo que el proceso de Poisson, que es la aplicación más probabilística.
Dos procesos importantes.
En 1827, el botánico británico Robert Brown (1773-1858) observó en una suspensión al microscopio la aparición de diminutas partículas flotando en la solución de forma continua pero no continua.
Hacer ejercicio con regularidad. Por supuesto, este fenómeno no se da sólo en los líquidos.
Sí, si prestamos un poco de atención cuando la luz del sol incide en una habitación oscura.
A veces, se puede ver mucho polvo flotando en el haz, lo que también es
Este es el efecto del movimiento browniano.
Sin embargo, Brown no es el primero en sugerir la existencia de este fenómeno.
Personas del siglo XVII, el naturalista holandés Leeu-Wenhoek (1632-1723) y muchos otros súbditos posteriores.
Los científicos han notado este fenómeno. Pero la discusión de Brown atrajo la atención de la comunidad científica, por lo que luego fue descartada por Brown.
Fenómeno de denominación verbal. Después de Brown, los científicos lo estudiaron sucesivamente.
Y explicar las causas del movimiento browniano. Al principio, los científicos creyeron que el movimiento browniano era causado por las propias partículas.
Está "vivo", pero un matemático y físico francés
Poincaré E (1854-1912) creía que esto violaba la termodinámica.
Segunda Ley de la Termodinámica
Ics). Hoy sabemos que el movimiento browniano es causado por.
Porque las partículas son bombardeadas constantemente por las moléculas circundantes.
Causado por el movimiento (en una solución en circunstancias normales, a.
Una partícula específica es golpeada unas 1020 veces por segundo.
En 1905, Einstein Stein describe matemáticamente el movimiento browniano utilizando el principio de
moléculas dinámicas
oria). Masculino
Al principio fue para deducir la posible existencia del movimiento browniano, pero luego se supo.
Este movimiento se viene observando desde hace tiempo. Deje que la partícula X (t) esté en el eje x en el momento t (es decir, considere solo el movimiento browniano unidimensional
Mover), suponiendo X (t0) =x0 La posición en el momento inicial t0.
Si se supone que el movimiento es uniforme con respecto al tiempo (es decir, hay un aumento constante)
Cantidad, incremento fijo, t0 se puede tomar como 0.
Además, los incrementos independientes también se suponen verdaderos, representados por ft(x)
Lang se mueve con la función de densidad de probabilidad de x en el tiempo t
Ai Yin Stein demostró que ft(x) satisface la siguiente fórmula diferencial parcial.
Programa:
f
t
=D
2f
x2
, (1)
Donde d se llama coeficiente de difusión, que es una constante mayor que 0.
Si cambiamos de escala, la fórmula anterior se puede convertir en una ecuación termodinámica.
(Ecuación de calor) f/ t=1
2
2f/ x2. No es difícil.
Se demuestra que la solución de (1) es
ft(x) = ft
1
√
4 Dt
e (x x0)2/4Dt. (2)
1
2 Comunicación Matemática Volumen 16 Número 4 Año humano completo 65438 + febrero de 1981
Einstein utilizó propiedades físicas para demostrar la propagación.
Coeficiente D= 2RT/Nf, donde r es un gas ideal.
Constante de gas), T donde T es la temperatura absoluta y n es sub.
Número de Avogadro, f es mo.
El coeficiente de fricción está relacionado con la viscosidad de la solución y las propiedades de las partículas
Acerca de. Poco después, basándose en el modelo establecido por Einstein, Perrin realizó una serie de experimentos y llegó a una conclusión.
Se estima que la diferencia en las cifras aceptadas en Alfargadro no supera el 19%.
Este resultado podría apoyar la teoría de la dinámica molecular, y
Antes de esto, muchos físicos todavía tenían dudas sobre esta teoría.
Perrin también señaló la descripción que hizo Einstein del modelo.
Da una función continua que sea diferenciable en todas partes. Esta función está aquí.
Antes de que se propusiera el modelo, la mayoría de los matemáticos lo consideraban.
Esta es una función con poco valor matemático.
Además, Bachelier utilizó la teoría de juegos para estudiar los precios de las acciones.
La fluctuación de la red cristalina, y en su tesis doctoral publicada en 1900,
mencionó que su modelo puede aplicarse al movimiento browniano en física.
En su investigación posterior, proporcionó cierta información sobre el movimiento browniano.
La distribución de funciones.
Durante el período de estudio del movimiento browniano, la teoría matemática
Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas es relativamente lento y es necesario utilizarlas de manera adecuada.
Es difícil describir este modelo. En Lebesgue, se recomienda cerrar la brecha.
Aproximadamente 20 años después de la publicación de su artículo sobre la teoría de la medida, Wiener (1923)
proporcionó por primera vez una fórmula matemática simple para el movimiento browniano.
También demostró que la trayectoria muestral del movimiento browniano es continua en casi todas partes.
En 1933, Wiener, Paley y Zyg-Mond*** demostraron que la trayectoria muestral del movimiento browniano es casi igual a
Además, la tela es descubierta por Qinqin (1924) .
Ley de los logaritmos de Lang
Logaritmos).
Levy ha estado comprometido con el movimiento browniano desde 1939.
Se puede decir que solo él le siguió en cuanto a cuán exhaustivos fueron los resultados.
Aún quedan algunos detalles por popularizar. Posteriormente estudió la multidimensionalidad.
Movimiento browniano y generalización de los resultados a espacios abstractos en general,
espacios de Hilbert en particular.
Gracias a las destacadas contribuciones de Wiener y Levy
La dedicación, el movimiento browniano a veces se denomina proceso Wiener o
proceso Wiener-Levy.
La siguiente es una breve introducción a las nubes brownianas.
Movimiento, es decir, tratar el movimiento browniano como el límite de un paseo aleatorio.
Supongamos que una partícula en una solución se ve afectada por un tiempo Δt promedio.
Colisiones secundarias, cada colisión produce un pequeño movimiento. Este
movimiento está configurado para que sea aleatorio e independiente de la posición original. Para simplificar, sólo se considera el movimiento en una dirección determinada y se establece cada movimiento.
Las probabilidades de mover +△x o △x son p y q= 1 p respectivamente.
El movimiento de partículas puede considerarse como un paseo aleatorio unidimensional.
La unidad del movimiento cuadrático es △
Muy lejos. Si la posición inicial de esta partícula se establece como origen, entonces la posición X(t) en el
intervalo t se puede expresar como
t/△t]) (3 )
Donde Ii= 1 o 1 turno + △x o.
δx, [] es una función gaussiana, y
P(Ii = 1)= 1 P(Ii = 1)= P.
La elección adecuada de estos parámetros viene determinada por el límite central.
Es razonable concluir que X(t) se aproxima a una distribución normal. Más concretamente,
Ruoling
Δx=
Δt,
p=
1
2
+
√
Δt
2
,
Introducción al Movimiento Browniano 3
Aquí, hay dos constantes fijas y >: 0, entonces cuando △t→
0 (entonces △x→0 y p →1
2
),
X(t) t
√
t
d →( 4)
¿Dónde está la distribución N(0, 1), que es la prueba?
(i)El valor esperado de X(t) es t y la varianza es 2t.
Distribución normal.
Debido a que los movimientos de partículas en zonas horarias disjuntas son independientes entre sí,
Por lo tanto, hay
(ii){X(t), t ≥ 0} tiene incrementos independientes.
X(s+t) puede conocerse inmediatamente a partir de (I) y (ii).
X(s) tiene la distribución de N(s, 2s). Finalmente, por estar en el cargo.
El desplazamiento de una zona horaria solo está relacionado con la longitud de la zona horaria, por lo que
(iii){X(t), t≥0} tiene un incremento constante.
Además, existen otras formas diferentes de introducir el movimiento browniano.
Muévete.
Supongamos que X(t) representa una partícula en la solución en un lado determinado en el tiempo t.
Supongamos que {X(t), t≥0} satisface las siguientes tres condiciones.
Ítem x:
(i)'{X(t), t≥0} tiene incremento independiente;
(ii)'{X (t ), t≥0} tiene un incremento constante;
(三)'right> 0,
Memoria de imagen latente (abreviatura de Memoria de imagen latente)
h↓0
P(|X(t+h) X(t)|≥ )/h= 0.
(5)
Se puede demostrar que el límite del paseo aleatorio satisface estos tres requisitos.
Por tanto, (i)'-(iii)' es una hipótesis débil.
A continuación te explicamos el significado de estas condiciones.
En primer lugar, la condición (I)' equivale a la siguiente afirmación:
X(t+h) X(t) y {X(u), u≤t } son sexo único.
Li, h > 0, t & gt0.
Por lo tanto, la condición (I)' representa la posición de la partícula en la zona horaria [t, t+h]
Mover, antes de eso, la posición del tiempo 0 al t es independiente.
Por supuesto, esto es sólo una suposición aproximada. Físicamente,
más precisamente, en la zona horaria [t, t+h] debido al impacto molecular,
y la energía transferida a la partícula, antes del tiempo t.
No tiene nada que ver con el deporte. Esta suposición se hace sólo si está en la zona horaria [t, t+h]
El desplazamiento causado por la velocidad inicial es el mismo que el desplazamiento en la zona horaria [t, t+h]
El desplazamiento producido por la potencia es relativamente pequeño y por tanto efectivo.
Desde el punto de vista del modelo, esta es la peor de las tres condiciones, ¿no?
Sin embargo, aún aceptamos esta suposición.
La "Condición (ii)" es una suposición razonable. Esto demuestra
que el movimiento de esta partícula es homogéneo en el tiempo, es decir, en cualquier momento.
La distribución del desplazamiento dentro de una zona horaria sólo está relacionada con la longitud de la zona horaria.
Cerrar, independientemente de la ubicación actual de la zona. Mientras las partículas estén ahí.
Esta suposición se puede hacer si el contenedor es muy grande.
Observando la condición (iii), pensamos que cada partícula se está moviendo.
El recorrido de la muestra debe ser continuo y no brusco.
Salta arriba y abajo. Ahora divida la zona horaria [0, s] en n partes iguales, la longitud de cada parte es h = s/n. Si el movimiento de la partícula es continuo,
entonces cuando h→0 (es decir, n→∞), en cierto sentido,
g(h) = sup
1≤i≤n
|X(ih) X((i 1)h)|(6)
Debe estar cerca de 0. Al menos esperamos > 0,
Memoria de imagen latente (abreviatura de Memoria de imagen latente)
h↓0
p(g(h)≥0. ( 7)
Según la condición (I)', variable aleatoria Yi=|X(ih) X((i
1)h)|, i= 1,.. ., n, son independientes entre sí
(2) Y1,..., Yn tienen la misma distribución Por lo tanto,
P(g(h)≥1. P(sup).
1≤i≤n
yi<)
= 1 P(y 1<)n
= 1 (1 P(y 1 ≥) n .(8)
Se puede ver que la fórmula anterior tiende a 0 si y sólo si nP(Y1≥
)→0, es decir
sP(|X(h) 65438+2 meses
Dado que s 0 y n≥1, sea h=
T/n, Yi =X(ih) X((i 1)h) entonces X. (t)= 1
n
I=1Yi, donde Y1,...Yn es el RV de i.i.d.
Supongamos que Mn= max1≤i≤ nYi, luego usando la condición anterior
(iii)', todavía existe Mn
P →0 Autor : Breiman (1968)
Proposición 9.6. (Ver Apuestas) Se puede obtener que X(t) es normal
En segundo lugar, se demuestra que existe una suma constante tal que E(X(t))
= t, V ar(X(t)) = 2t. Sea k 1(t)= 0
E(X(t) ), k2(t) =V ar(X (t)).
Ítems (1) y (2)
k1(t+) =E(X(t+))
p>=E(X(t+ ) X( )) +E(X())
=k1(t) +k1(), (10)
y
k2(t+)
= E(X(t+)k 1(t+))2(11)
= E( X(t+) X()k 1(t)+X()k 1())2
=k2(t) +k2()
De la condición (iii) , cuando →0, 0,
E(X(t+)→E(X(t)),
V ar(X(t+ ))→V ar(X( t)).
Así, k1(t) y k2(t) son funciones continuas, lo que demuestra (ver
Young (1958)) que ambas funciones son funciones lineales.
Nota: Supongamos Sn=X(n)
1+ +X(n)
n,
donde X(n )
1, .. . , X(n)
n es el r.v del diámetro interior
Joao
D → >1, .. . , X(n)
d →
0 si y sólo si X tiene una distribución normal.
Después de la discusión anterior, se lo entregaremos oficialmente a Brown.
Definición de movimiento.
Definición 1: Un proceso aleatorio {X(t), t≥0}
Movimiento browniano, si satisface:
(i)X( 0 ) = 0 y X(t) es continua en t= 0;
(ii){X(t), t≥0} tiene incrementos constantes e independientes;
(iii ) Para t > 0, X(t) se divide en N(t, 2t).
Bu, donde , es una constante.
Las dos constantes anteriores y 2 se denominan movimiento browniano respectivamente.
Sesgo (deriva) y coeficiente de difusión (coeficiente de dispersión-
Cient). Si = 0 y 2 = 1, entonces se llama a este proceso.
Movimiento browniano estándar. Porque si X(t)= 1
(X(t) t)/, el proceso {X(t), t≥0} es uno.
Movimiento browniano estándar, es decir, cualquier movimiento browniano se puede transformar
en movimiento browniano estándar, por lo que normalmente solo necesitamos considerar
movimiento browniano estándar.
Utiliza el límite de un paseo aleatorio para explicar el movimiento browniano, de modo que
asociamos (casi todos) los caminos muestrales de este proceso.
Introducción al movimiento browniano 5
La trayectoria debe ser una función continua de t. Además, debido a que depende de los límites del recorrido de la máquina, cada recorrido de muestra siempre es nítido.
(puntiagudo) o estrafalario, no en todas partes.
suave, por lo que X(t) debería ser (casi).
De hecho, ambas suposiciones son correctas.
Porque {X(t), t≥0} tiene la propiedad de incremento independiente.
Calidad, por lo que también es un proceso de Markov, y debido a que X(t) tiene
distribución normal con valor esperado 0 y varianza t, su p.d.f
es
pies (x) = pies
1
√
2 toneladas
e x2/2t . (12)
Luego, usando constantes e incrementos independientes, podemos calcular t 1 & lt; t2 & lt para cualquier n > 1 y 0
t. . . & ltSe puede utilizar nitrógeno total
La función de densidad de probabilidad conjunta de X(t1),..., X(tn) es la siguiente.
f(x1, x2,...,xn)
= pie 1(x 1)pie2 t 1(x2 x 1)
ftn tn -1(xn xn 1). (13)
Con (13), básicamente podemos calcular cualquier máquina que queramos.
Tarifa. Por ejemplo, si la demanda está por debajo de la distribución condicional dada de X(t) = a,
,
fs(x)ft s(a x)
ft(a)
=
√
t
2 segundos (t segundos)
Gasto {
x2
2s
(una x) 2
2(t s)
+
Segundo tono aórtico
2t
}
p>=Cexp{
t(x as/t)2
2s(t s)
}.(14)
Entonces, para 0
la distribución normal, el valor esperado y la varianza son respectivamente
E(X(s)|X(t) =a) =as/t, (15 )
v ar(X(s)| X(t) =a ,X(s).
El número de varianzas no tiene nada que ver con a. Si s/t =, 0
1 y 0
& ltTn, X(t1), ... , X(tn) tiene la normalidad de n variables.
La distribución, entonces {X(t), t≥0} se denomina proceso gaussiano.
Debido a que la distribución normal multivariada puede determinarse por el valor esperado marginal y
* * * por el valor de la varianza, el movimiento browniano estándar también puede determinarse
definirse como un valor esperado para E(X(t)) =
0, y para s≤t
Cov(X(s),X(t))
= Cov(X(s),X(s))
+Cov(X(s),X(t) X(s))
=s,
La última ecuación usa V ar(X(s)) =s e independencia.
La naturaleza del incremento.
Teorema 2: Un proceso gaussiano {X(t), t≥0} es
movimiento browniano estándar si y sólo si E(X(t)) = 0 y
p>
Cov(X(s),X(t)) = min{s,t},s,t≥0.
Mecanismo 1: Si {X(t), t≥0} es
movimiento browniano con desviación y coeficiente de difusión de 2,
Entonces Cov(X (s),X(t)) = 2min{s,t}.
6 Comunicación Matemática Volumen 16 Número 4 Año Completo 65438 + Febrero 1981
Referencia
Desde el desarrollo del movimiento browniano, este proceso y sus diversas inferencias
se utilizan ampliamente en muchos campos como la economía, la teoría del intercambio (teoría de la comunicación), la biología, las ciencias de la gestión y la estadística matemática.
Y la mecánica cuántica.
Capítulo 7 de Carlin y Taylor (1975)
El movimiento browniano se presenta en detalle, lo que conduce a muchos temas de este artículo.
A partir de ahí. Carlin y Taylor (1980)
Ter 15 también tiene muchos ejemplos y aplicaciones del movimiento browniano.
El capítulo sobre el movimiento browniano en Levy (1954) es irrelevante
Muy rico en ideas y resultados. It^o y McCann (1965) y Friedman (1971) son dos libros muy profundos y también muy importantes. Li (74) y Xie Nanrui (Min
China (81) también son dos trabajos relacionados dignos de referencia.
Fenómeno de electroforesis
Esos átomos en la superficie de materia, las moléculas o iones son diferentes de los que están dentro del material. Los átomos, moléculas o iones en la superficie del material solo son atraídos por otras partículas en el costado y debajo, por lo que las partículas en la superficie del material tienen fuerza de adsorción residual. , lo que hace que la superficie del material sea adsorbida. El área de superficie expuesta al medio circundante es muy grande. Por lo tanto, en un sistema de dispersión coloidal, las partículas coloidales a menudo pueden absorber iones del medio, lo que hace que las partículas coloidales dispersas tengan diferentes cargas superficiales. Algunas de ellas pueden absorber cargas positivas y otras pueden absorber cargas negativas, por lo que algunas partículas coloidales están cargadas positivamente, como los coloides de hidróxido de aluminio. Algunas partículas coloidales están cargadas negativamente, como los coloides de trióxido de arsénico (As2S3). se aplica a los coloides, estos migrarán al ánodo o al cátodo. Esto se llama electroforesis.
Las partículas coloidales del mismo tipo tienen la misma carga, lo que reduce la posibilidad de colisiones entre partículas coloidales, evitando así. se combinan entre sí para formar partículas más grandes para la precipitación. Si se agrega un electrolito a este coloide, los iones producidos por la ionización del electrolito neutralizarán las cargas transportadas por las partículas coloidales, provocando que las partículas de arcilla en el río se aglomeren. y precipita debido a la adsorción de hidrógeno y oxígeno. Cuando el agua del río fluye hacia el agua de mar salada, las partículas de arcilla cargadas negativamente son neutralizadas por los iones de sodio y magnesio cargados positivamente en el agua de mar, lo que hace que la arcilla precipite y finalmente forme una. delta en la desembocadura del río.
En los gases de combustión del alto horno, el negro de humo y el polvo suelen ser coloidales y cargados si se utiliza el dispositivo que se muestra en la Figura 2 e instala un electrodo de alto voltaje en el. En la chimenea, las partículas coloidales cargadas negativamente pueden absorberse y depositarse, lo que no sólo recupera productos valiosos de ellas sino que también reduce la contaminación del aire.