¿Qué son los números de Fibonacci?

En pocas palabras, es 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... La regla de esta secuencia es que comienza desde el tercer elemento, y cada El elemento es la suma de los dos números anteriores y. Fang Zhouzi, un famoso escritor de divulgación científica, ha escrito un artículo especial sobre esta secuencia, que ahora reproducimos:

¿Son los misteriosos números de plantas una belleza armoniosa dispuesta por Dios?

Texto/Fang Zhouzi

Las "flores de ciruelo" de las cartas no son flores de ciruelo, ni siquiera flores, sino tréboles. En la historia occidental, el trébol es una planta muy simbólica. Se dice que la primera hoja representa la esperanza, la segunda representa la confianza y la tercera representa el amor. Si encuentras un trébol de cuatro hojas, harás buenos amigos. , encontró la felicidad. Encontrar tréboles de cuatro hojas en la naturaleza es un juego para los niños occidentales, pero es difícil de encontrar. Se estima que por cada 10.000 tréboles, sólo habrá un mutante de cuatro hojas.

En China. Las flores de ciruelo tienen un significado simbólico similar. Según el folclore, los cinco pétalos de la flor del ciruelo representan las cinco bendiciones. La República de China designó la flor del ciruelo como flor nacional, afirmando que los cinco pétalos de la flor del ciruelo simbolizaban la armonía de los cinco grupos étnicos y tenían el significado de adherirse a las cinco éticas, respetar los cinco principios constantes y aplicar las cinco religiones. Sin embargo, no es exclusivo que las flores de ciruelo tengan cinco pétalos, de hecho, el número más común de pétalos para una flor es cinco, por ejemplo, en otras especies pertenecientes a la familia de las Rosáceas, como los melocotones, las ciruelas, los cerezos y los albaricoques. , manzanas, peras, etc., todas tienen flores de cinco pétalos. Los números de pétalos comunes incluyen: 3 para el iris y el lirio (parecen 6, pero en realidad son dos conjuntos de 3 para el delfinio; 13 para el cineraria; algunos tienen 34 pétalos; algunos tienen 34, 55); u 89 pétalos. Las flores con otro número de pétalos tienen menos pétalos. ¿Por qué el número de pétalos no se distribuye aleatoriamente? 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89,... ¿Hay algo especial en estos números?

Sí, son números de Fibonacci. Fibonacci (1170-1240) fue un matemático italiano medieval. No contaba el número de pétalos, pero se le ocurrió esta secuencia mientras resolvía un problema sobre la reproducción de los conejos. Supongamos que tienes un par de conejos recién nacidos, un macho y una hembra que se aparean cuando tienen un mes de edad. Al final del segundo mes, la coneja da a luz a otro par de conejos. cría, así que esto continúa. Cada coneja da a luz un par de conejos cada mes cuando comienza a reproducirse. Suponiendo que no muera ningún conejo, ¿cuántos pares de conejos habrá después de un año?

A finales de enero se aparea la primera pareja de conejos, pero queda solo una pareja de conejos, a finales de febrero, la coneja da a luz a una pareja de conejos, y finalmente hay; 2 pares de conejos; a finales de marzo, el último par de conejos. La coneja vieja dio a luz al segundo par de conejos, y finalmente hubo 3 pares de conejos a finales de abril, la coneja más vieja dio a luz; al tercer par de conejos, y la coneja nacida hace dos meses dio a luz un par de conejos,* **Hay 5 pares de conejos;... Calculado de esta manera, el número de pares de conejos es: 1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144,...Se puede ver ¿Es regular? A partir del tercer número, cada número es la suma de los dos números anteriores.

Las plantas parecen obsesionadas con los números de Fibonacci. Los números de Fibonacci se pueden encontrar no sólo en las flores, sino también en hojas, ramas, frutos, semillas y otras características morfológicas. La filotaxia se refiere a la disposición de las hojas en el tallo. La más común es la filotaxia alterna, es decir, hay una sola hoja en cada nudo y crecen de forma alterna. Tome cualquier hoja como punto de partida y conecte los puntos de inserción de cada hoja con líneas hacia arriba. Puede encontrar que es una línea en espiral, que gira en espiral hacia arriba hasta que el punto de inserción de la otra hoja de arriba coincida con el punto de inserción de la hoja inicial. . como punto final. El número de semanas que la línea espiral recorre el tallo desde la hoja inicial hasta la hoja final se llama semana de filotaxis. La filotaxis de diferentes especies puede ser diferente y el número de hojas también puede ser diferente. Por ejemplo, el olmo tiene una circunferencia de filotaxia de 1 (es decir, 1 círculo alrededor del tallo) y tiene 2 hojas; la morera tiene una circunferencia de filotaxia de 1 y tiene 3 hojas; el melocotón tiene una circunferencia de filotaxia de 2 y tiene 5 hojas; tiene una circunferencia de filotaxia de 3 y tiene 8 hojas; el albaricoque tiene 8 hojas la circunferencia de filotaxia es 5 y hay 13 hojas, la circunferencia de filotaxia es 8 y hay 21 hojas... expresada por fórmulas (el número de las circunferencias alrededor del tallo son el numerador y el número de hojas es el denominador), que son 1/2, 1/3, 2/5 respectivamente, 3/8, 5/13, 8/21,... Estos son. las fórmulas de filotaxia más comunes Se estima que alrededor del 90% de las plantas pertenecen a este tipo de filotaxia, y todas están compuestas por números de Fibonacci.

Si observas el disco de flores de un girasol, encontrarás que las semillas están dispuestas en dos conjuntos de espirales incrustadas entre sí, una en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj. Cuente nuevamente el número de estas espirales, aunque las diferentes variedades de girasoles variarán, los números de estos dos conjuntos de espirales generalmente son 34 y 55, 55 y 89, o 89 y 144, donde el primer número es el número de hilos en el sentido de las agujas del reloj. , este último número es un número de línea en sentido antihorario y cada conjunto de números son dos números adyacentes en la secuencia de Fibonacci. Observa la disposición de las escamas de las piñas y las piñas. Aunque no son tan complicadas como el disco de girasol, también hay dos conjuntos similares de espirales. Los números suelen ser 8 y 13. A veces la espiral es menos obvia y requiere una inspección más cercana para notarse, como en el caso de la coliflor. Si tomas una coliflor y la estudias detenidamente, encontrarás que la disposición de los floretes en la coliflor también forma dos conjuntos de espirales. Luego cuenta el número de espirales para ver si también son dos números de Fibonacci adyacentes, como en el sentido de las agujas del reloj. ¿5 líneas, 8 líneas en sentido antihorario? Rompe una flor pequeña y obsérvala con atención. En realidad, está compuesta de flores más pequeñas y también están dispuestas en dos espirales. Sus números también son dos números de Fibonacci adyacentes.

¿Por qué las plantas prefieren tanto los números de Fibonacci? Esto está relacionado con otro número "misterioso" más antiguo que la gente ha notado e incluso adorado ya en la antigua Grecia. Supongamos que existe un número φ, que tiene la siguiente relación matemática interesante:

φ^2 - φ^1 -φ^0 =0

Es decir: φ^2 -φ -1 =0

Resolviendo esta ecuación, quedan dos soluciones:

(1 + √5) / 2 = 1.6180339887...

(1 - √5 ) / 2 = - 0.6180339887...

Ten en cuenta que las partes decimales de estos dos números son exactamente iguales. La solución positiva (1.6180339887...) se llama número áureo o proporción áurea, generalmente representada por φ. Este es un número irracional (los decimales no se repiten indefinidamente y no se pueden expresar como fracciones) y es el número irracional más irracional. También son números irracionales. Pi se puede aproximar en 22/7, la constante natural e se puede expresar en 19/7 y √2 se puede aproximar en 7/5. Sin embargo, es imposible expresarlo con precisión usando una fracción. con denominador de un solo dígito.

Los números áureos tienen unas maravillosas propiedades matemáticas. Su recíproco es exactamente igual a su parte decimal, es decir, 1/φ = φ-1. A veces a este recíproco también se le llama número áureo o proporción áurea. Si una línea recta AB se divide por el punto C, sea AB/AC = AC/CB, entonces esta relación es igual al número áureo, y el punto C se llama punto de la sección áurea. Si el ángulo del vértice de un triángulo isósceles es de 36 grados, entonces la relación entre su altura y la línea inferior es igual al número áureo. Dicho triángulo se llama triángulo áureo. Si la relación de aspecto de un rectángulo es el número áureo, entonces corte un cuadrado del rectángulo con una longitud de lado igual a su ancho, y el pequeño rectángulo restante todavía tendrá el número áureo. Tal rectángulo se llama rectángulo áureo. Se puede cortar infinitamente usando el método anterior para obtener rectángulos áureos cada vez más pequeños. Si las esquinas opuestas de estos rectángulos áureos se conectan con arcos, se forma un logaritmo. Los periódicos, revistas, libros, papeles, documentos de identidad y tarjetas de crédito comunes tienen la forma de un rectángulo dorado. Se dice que esta forma hace que las personas parezcan cómodas. De hecho, el número de oro está en todas partes de nuestras vidas. Se utiliza en el diseño de edificios, obras de arte y artículos de primera necesidad porque nos hace sentir hermosos y armoniosos.

Entonces, ¿cuál es la relación entre los números áureos y los números de Fibonacci? Según la ecuación anterior:

φ^2 -φ -1 =0,

se puede obtener:

φ = 1 + 1/φ

= 1 + 1/ (1 + 1/φ)

= ...

= 1 + 1/( 1 + 1/( 1 + 1/ ( 1 +...)))

De acuerdo con la fórmula anterior, puedes usar una calculadora para calcular φ de la siguiente manera: ingresa 1, toma el recíproco, suma 1, toma el recíproco de la suma, suma 1, toma el recíproco de la suma,..., encontrarás que la suma se acerca cada vez más a φ.

Expresemos los pasos de aproximación anteriores en términos de fracciones y decimales:

φ ≈ 1

φ ≈ 1 + 1/1 = 2/1 = 2

φ ≈ 1 + 1/(1+1/1) = 3/2 = 1,5

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+1)) = 5/3 = 1,666667

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+1))) = 8/5 = 1,6

φ ≈ 1 + 1/(1+ 1 /(1+(1+(1+1)))) = 13/8 = 1.625

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+( 1 +1))))) = 21/13 = 1,615385

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+1)) )) ))) = 34/21 = 1.619048

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+1)) ))) ))) = 55/34 = 1.617647

φ ≈ 1 + 1/(1+1/(1+(1+(1+(1+(1+(1+(1 +1)) ))))))) = 89/55 = 1.618182...

¿Lo encontraste? Los numeradores y denominadores de las fracciones anteriores son números de Fibonacci adyacentes. Resulta que la proporción de dos números de Fibonacci adyacentes es aproximadamente igual a φ. Cuanto mayor es el número, más cerca está. Cuando es infinito, la proporción es igual a φ. Los números de Fibonacci y los números de oro están estrechamente relacionados. A las plantas les encantan los números de Fibonacci, de hecho les encantan los números áureos. ¿Por qué es esto? ¿Podría ser que haya algún arreglo en alguna parte, que Dios quiera que el mundo esté lleno de belleza y armonía?

Las ramas, hojas y pétalos de las plantas tienen el mismo origen, y todos brotan y se diferencian del meristemo en la punta del tallo. El nuevo brote crece en una dirección diferente a la del brote anterior y gira en un ángulo fijo. Si quieres aprovechar al máximo el espacio de cultivo, los nuevos brotes deben crecer lo más lejos posible de los viejos. Entonces, ¿cuál es el mejor ángulo? Podemos escribir este ángulo como 360° × n, donde 0 < n < 1. Dado que un ángulo a la izquierda y a la derecha es el mismo (solo la dirección de rotación es diferente), por ejemplo, n=0,4 y n=0,6 en realidad tienen el mismo resultado, por lo que solo consideramos el caso 0.5≤n<1. Si el nuevo brote quiere estar lo más alejado posible del anterior y viejo, deberá crecer hacia el lado opuesto, es decir, n = 0,5 = 1/2, pero en este caso el segundo nuevo brote estará en el. misma dirección que el brote viejo, y el tercer brote nuevo estará en la misma dirección que el primero. Los nuevos brotes están en la misma dirección,... es decir, se superponen después de solo un círculo, y quedan. sólo hay dos direcciones de crecimiento en total y el espacio intermedio se desperdicia. ¿Qué pasa si 0,6 = 3/5? Habrá superposición después de 3 turnos y solo hay 5 direcciones en total. De hecho, si n es una fracción propia p/q, significa que hay superposición alrededor de p veces y hay q direcciones de crecimiento.

Evidentemente, si n es un número irracional que no se puede expresar como fracción, será mucho más "racional". ¿Qué tipo de número irracional deberías elegir? Pi, la constante natural e y √2 no son buenas opciones porque sus partes decimales son muy cercanas a 1/7, 5/7 y 2/5 respectivamente, es decir, se superponen después de 1, 5 y 2 vueltas respectivamente, las hay. sólo 7, 7 y 5 direcciones en total respectivamente. Entonces, la conclusión es que cuanto más irracional sea el número irracional, mejor y más "racional" será. Hemos mencionado antes que el número irracional más irracional es el número áureo φ≈1.618. Es decir, el valor óptimo de n ≈ 0,618, es decir, el ángulo de rotación óptimo del brote es aproximadamente 360° × 0,618 ≈ 222,5° o 137,5°.

Como se mencionó anteriormente, las filotaxis más comunes son 1/2, 1/3, 2/5, 3/8, 5/13 y 8/21, que representan el orden de dos hojas adyacentes. queremos convertirlos en n (que indica cuantas veces puede dar la vuelta cada hoja como máximo), solo necesitamos restarle la apertura a 1, que es 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8 /13, 13/21. Son la proporción de dos números de Fibonacci adyacentes, que se aproximan a 1/φ en diversos grados.

En este caso, los cogollos de la planta pueden tener la mayor dirección de crecimiento y ocupar el mayor espacio posible. Para las hojas, significa recibir la mayor cantidad de luz solar posible para la fotosíntesis, o recibir la mayor cantidad de agua de lluvia posible para regar las raíces, para las flores, significa mostrarse lo más posible para atraer insectos para la polinización y las semillas; dispóngalos lo más densamente posible. Todo esto es de gran beneficio para el crecimiento y reproducción de las plantas. Se puede ver que la razón por la que las plantas prefieren los números de Fibonacci es el resultado de la evolución bajo la influencia de la selección natural de supervivencia del más apto, lo cual no es un misterio.