¿Qué es la fórmula de Black-Scholes?

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Modelo de fijación de precios de opciones

Modelo de fijación de precios de opciones (OPM): propuesto por Blake y Scholes en la década de 1970. Este modelo cree que sólo el valor presente del precio de las acciones es relevante para las predicciones futuras; la historia pasada y la evolución de las variables son irrelevantes para las predicciones futuras. El modelo muestra que la determinación de los precios de las opciones es muy compleja. El período del contrato, el precio actual de las acciones, el nivel de la tasa de interés de los activos libres de riesgo y el precio de entrega afectarán los precios de las opciones.

Nombre chino

Modelo de valoración de opciones

Abreviatura

Oficina de Adquisiciones y Materiales

Fundadores

Black y Scholes

Época de creación

Años 70.

Contenido

1? Historia del desarrollo

2? Precursores teóricos

3? Modelo principal

Modelo B-S

Modelo binomial

Historial de desarrollo

Editar

Las opciones son del comprador Una opción comprar o vender una determinada cantidad del activo subyacente en un momento determinado en el futuro después de pagar una determinada prima de opción. El precio de la opción es la única variable en un contrato de opciones que cambia con los cambios en la oferta y la demanda del mercado. Su nivel afecta directamente las ganancias y pérdidas de los compradores y vendedores, y es la cuestión central en el comercio de opciones. Ya en 1900, el experto financiero francés Laures Bachelet publicó el primer artículo sobre la fijación de precios de opciones. Desde entonces, han surgido diversas fórmulas empíricas o modelos econométricos de fijación de precios, pero debido a diversas limitaciones, es difícil lograr un reconocimiento universal. Desde la década de 1970, con el rápido desarrollo del mercado de opciones, la investigación sobre la teoría de la fijación de precios de opciones ha logrado grandes avances.

En el proceso de formación y desarrollo del mercado financiero internacional de derivados, la fijación de precios razonables de las opciones es un problema importante que preocupa a los inversores. Con la aplicación de computadoras y tecnología de comunicación avanzada, la aplicación de fórmulas complejas de fijación de precios de opciones se ha hecho posible. Durante los últimos 20 años, los inversores han convertido esta fórmula numérica abstracta en enormes fortunas utilizando el modelo de valoración de opciones de Black-Scholes.

La fijación de precios de opciones es uno de los problemas matemáticos más complejos en todas las aplicaciones financieras. El primer modelo completo de valoración de opciones fue desarrollado por Fisher Black y Myron Scholes y hecho público en 1973. El modelo de fijación de precios de opciones B-S se anunció casi al mismo tiempo que los contratos de opciones estandarizados se cotizaban oficialmente en la Bolsa de Opciones de la Junta de Chicago. Pronto, Texas Instruments presentó una calculadora con un programa para calcular valores de opciones basado en este modelo. Los corredores que negocian opciones poseen en su mayoría computadoras producidas por varias compañías y utilizan programas desarrollados en base a este modelo para evaluar las transacciones. Este trabajo ha jugado un papel importante en la promoción de la innovación financiera y el surgimiento de diversos productos financieros emergentes.

A principios de la década de 1970, Scholes desarrolló una compleja fórmula de valoración de opciones con su colega, el fallecido matemático Fisher Black. Al mismo tiempo, Merton descubrió la misma fórmula y muchas otras conclusiones útiles sobre las opciones. Como resultado, los dos artículos se publicaron en revistas diferentes casi al mismo tiempo. Por lo tanto, el modelo de fijación de precios de Black-Scholes también puede denominarse modelo de fijación de precios de Black-Scholes-Merton. Merton amplió el modelo original y lo aplicó a muchas otras formas de transacciones financieras. La Real Academia Sueca de Ciencias elogió los resultados de su investigación sobre la fijación de precios de opciones como la contribución más destacada a la ciencia económica en los próximos 25 años.

En 1979, Cox, Ross y Rubinsetein propusieron el modelo binomial en su artículo "Precio de opciones: un método simplificado", establecieron un método numérico para el precio de opciones y resolvieron el problema estadounidense del precio de opciones.

Precursores teóricos

1. Bachelor (1900)

2. Sprinkle (1961)

3.

4. Samuelson (Samuelson, 1965)

Método de fijación de precios

(1) Fórmula de Black-Scholes

(2) Fijación de precios binomial método

(3) Método de fijación de precios neutral al riesgo

(4) Método de fijación de precios martingala, etc.

Modelo principal

Modelo B-S

El modelo de valoración de opciones se basa en la idea de cobertura de carteras. Los inversores pueden crear una cartera de opciones y sus acciones subyacentes para garantizar un rendimiento seguro. En equilibrio, esta recompensa determinada debe dar como resultado la tasa libre de riesgo. Esta idea de fijación de precios de opciones es coherente con la idea de fijación de precios sin arbitraje. El llamado precio sin arbitraje significa que cualquier inversión con inversión cero solo puede obtener un rendimiento cero, y cualquier inversión con una inversión distinta de cero solo puede obtener un rendimiento promedio correspondiente al riesgo de la inversión, pero no puede obtener un rendimiento excesivo (beneficio). exceder el rendimiento equivalente al riesgo). A partir de la derivación del modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes, no es difícil ver que la fijación de precios de opciones es esencialmente una fijación de precios libre de arbitraje.

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Supuestos

1. El precio del activo subyacente obedece a una distribución lognormal;

2. La tasa de interés libre de riesgo y las variables de rendimiento del activo financiero son. en Las opciones permanecen sin cambios durante el período de validez;

3. No hay fricciones en el mercado, es decir, no hay impuestos ni costos de transacción;

4. sin dividendos ni otros ingresos durante el período de validez de la opción (este supuesto fue abandonado);

5. La opción es una opción europea, es decir, no se puede implementar antes de que expire la opción.

Fórmula de precios

C=S N(D1)-L (E^(-γT))*N(D2)

Incluye:

d1=(ln(s/l)+(γ+(σ^2)/2)*t)/(σ*t^(1/2))

D2=D1 - σ*T^(1/2)

c-El precio inicial razonable de la opción

l-El precio de entrega de la opción

s-El activo financiero que se comercializa precio actual.

t-El período de validez de la opción

γ——La tasa de interés libre de riesgo h de capitalización continua.

σ2-Varianza anualizada

n()-Función de distribución de probabilidad acumulada de variables distribuidas normalmente. Aquí se deben explicar dos puntos:

Primero, el modelo. La tasa de interés libre de riesgo debe adoptar la forma de capitalización continua. La tasa libre de riesgo simple o discontinua (fijada en γ0) generalmente se capitaliza una vez al año, mientras que γ requiere que la tasa de interés se capitalice continuamente. γ0 debe convertirse en r antes de poder sustituirlo en la fórmula de cálculo anterior. La relación de conversión entre ellos es: γ=LN(1+γ0) o γ0=Eγ-1. Por ejemplo, γ0=0,06, entonces γ=LN(1+0,06)=0583, es decir, 100 invertidos con un 583% de interés compuesto continuo obtendrán 106 en el segundo año. Este resultado es consistente con la respuesta calculada directamente por γ0=0,06.

La segunda es la expresión relativa del período de validez de la opción T, es decir, la relación entre el número de días que la opción es válida y 365 días en un año. Si la opción es válida por 100 días, entonces T=100/365=0,274.

Deducción y aplicación

(1) Derivación del modelo B-S La derivación del modelo B-S comienza con las opciones de compra. Para las opciones de compra, el valor de vencimiento es: E[G]=E[max(ST-L, O)]

Donde, e[g]-expectativa de vencimiento de la opción de compra ST-valor de mercado de la transacción de vencimiento de activos financieros.

l-Precio de entrega (ejecución) de la opción

Pueden darse dos situaciones en las que la opción expire: 1. Si se utiliza STL, la implementación de la opción es dentro del dinero, mAx(ST-L, O) = ST-L.

2. Si ST

max(ST-L, O)=0

Por lo tanto: e[CT]= p×(e[ST | STL )+(1-p)×o = p×(e[ST | STL]-l).

Donde: P-(STL)E[ST | STL]-el valor esperado de ST bajo un descuento (STL) dado E[G], el precio razonable inicial de la opción se obtiene en función del período de validez e interés compuesto continuo libre de riesgo rT :C=P×E-rT×(E[ST|STL]-L)(*), convirtiendo así el precio de las opciones en la determinación de P y E.

Primero,

defina los ingresos. De manera consistente con las tasas de interés, el rendimiento es el logaritmo de la relación entre el precio de mercado (st) y el precio actual (S) de la opción del activo financiero en la fecha de entrega, es decir, rendimiento = 1 nts. Suponiendo que el ingreso de 1 obedece a la distribución lognormal, es decir, 1nsts ~ n (μ t, σT2), entonces E[1 NST(STS]=μT, STS ~ en (μ t, σT2) puede demostrar que el precio relativo la expectativa es mayor que EμT, Es decir: e [STS] = Se sabe que la distribución normal tiene la propiedad: Pr06[ζν]= 1-N(χ-μσ), donde: ζ-el valor esperado de la normal. variable aleatoria distribuida χ-el valor clave μσ-ζ La desviación estándar de, entonces: p = pr06 [st1] = pr0 TTNC4 es el tercero del número de simetría: 1-n(d)= n(-d)p =. n 1 nsl+(γ-σ22)tσtars, que viene dado por El valor esperado de ST bajo STL fijo Dado que E[ST|ST]L] está en el rango de L a ∞ de la distribución normal, E[ST|ST. ]=S EγT N(D1)N(D2)

Estos incluyen:

d 1 = lnsl+(γ+σ22)tσtd2 = lnsl+(γ-σ22)tσt = d 1-σtFinalmente,

P y E [ST|ST]L] Sustituya en la fórmula (*) para obtener el modelo de precios B-S: C=S N(D1)-L E-γT N(D2) ( 2) Ejemplos de aplicación del modelo B-S Supongamos que el precio actual de una acción en el mercado es 164, el interés compuesto continuo libre de riesgo γ es 0,000,

① Encuentre d 1: d 1 = (1n 164165+(0,052)+0,08412)×0,09590,29×0,0959 = 0,039 ② Encuentre D2:D2 = 0,0328-0,29×0,0959 =-0,570.

③ Verifique la tabla de funciones de distribución normal estándar y obtenga: n(0.03)= 0.5120n(-0.06)= 0.471.

④ Encuentra c: c = 164×0.5120-165×e-0.0521×0.0959×0.471 = 5.803.

Por lo que teóricamente el precio razonable de esta opción es 5.803. Si el precio de mercado real de la opción es 5,75, la opción está infravalorada. En ausencia de costos de transacción, comprar opciones de compra es rentable.

(3) Derivación de la fórmula de fijación de precios de las opciones de venta El modelo B-S es la fórmula de fijación de precios para las opciones de compra.

Según la teoría de la paridad de las opciones de venta, se puede derivar el modelo de fijación de precios de las opciones efectivas. Según la teoría de la paridad de las opciones de venta, la combinación de comprar una acción y poner una opción de venta sobre la acción tiene el mismo valor que comprar una opción de compra y emitir un bono con descuento libre de riesgo al precio de entrega de la opción en las mismas condiciones. . La expresión es la siguiente:

S+PE(S, T, L)=CE(S, T, L)+L(1+γ)-T

Desplazamiento. El término es: PE(S, T, L) = CE (S, T, L) + L (1 + γ)-T-S, el modelo B-S se reemplaza por P = L E-γ T [1-N (D2) ]-S [

Desarrollo

El modelo B-S solo resuelve el problema del precio de las opciones de acciones que no pagan dividendos. Merton desarrolló el modelo B-S y lo aplicó a las opciones sobre acciones que pagan dividendos. . (1) Se conocen dividendos discontinuos. Supongamos que una acción paga un dividendo conocido DT en un momento determinado T (es decir, la fecha ex dividendo) durante el período de la opción. Simplemente elimine el valor actual del dividendo del precio actual S de la acción y agregue el valor ajustado de la acción. S' Sustituir en el modelo B-S: S' = S-DTE-RT Si existen otros ingresos durante el período de vigencia, se descontarán uno a uno según este método. Así, el modelo B-S se modifica a una nueva fórmula:

C=(S- E-γT N(D1)-L E-γT N(D2)

(2) Dividendos continuos La existencia de significa que las acciones pagan dividendos continuamente a una tasa de dividendo conocida (fijada en δ). Si la tasa de dividendo anual δ de las acciones de una empresa es 0,04, entonces el valor actual de las acciones es 164, entonces el dividendo esperado. para ese año es 164×0,04=6,56. Cabe señalar que este bono no se distribuye en cuatro trimestres, es decir, 164 por trimestre en realidad crece de forma natural con la reinversión continua de la más pequeña unidad de dólares; Se acumula hasta 6,56 en un año. Los precios de las acciones fluctúan a lo largo del año y los dividendos reales también cambian, pero la tasa de dividendos es fija. Por lo tanto, este modelo no requiere que el dividendo sea conocido o fijo, solo requiere que se pague. en proporción al precio de las acciones

El valor presente del dividendo aquí es: s(1-e-δt), entonces s′= se-δt, sustituya s:c = se-δTN(d). 1)-le-δTN(D2) para obtener pagos continuos Fórmula de valoración de opciones para dividendos

Impacto

Desde que el modelo B-S se publicó por primera vez en el Journal of Litical Economics en 1973, los traders en el Chicago Board Options Exchange inmediatamente se dio cuenta de su importancia y el modelo B-S se programó rápidamente en computadoras y se aplicó al recién inaugurado Chicago Board Options Exchange. Con el avance de la tecnología informática y de comunicaciones, el alcance de aplicación de esta fórmula ha seguido expandiéndose. Hoy en día, el modelo y algunas de sus variantes han sido adoptados por operadores de opciones, bancos de inversión, gestores financieros, compañías de seguros, etc. La expansión de los derivados ha hecho que los mercados financieros internacionales sean más eficientes, pero también ha hecho que los mercados globales sean más volátiles. La creación de nuevas tecnologías y nuevos instrumentos financieros ha fortalecido los mercados y las relaciones entre los participantes del mercado. La interdependencia no es sólo dentro de un país, sino que también involucra a otros países o incluso a muchos países. Por lo tanto, se producen fluctuaciones o crisis financieras en un mercado o en un país. Es muy probable que se transmitan rápidamente a otros países e incluso a toda la economía mundial. El sistema financiero de China no es perfecto. Sin embargo, a medida que la reforma se profundice y se acerque a la internacionalización, el mercado de capitales seguirá desarrollándose. , el sistema de intercambio será cada vez más perfecto y las empresas tendrán más autonomía y enfrentarán mayores riesgos, por lo que es necesario cultivarlos y evitarlos. Los derivados financieros riesgosos también deben explorar el mercado de derivados, y la gente acaba de empezar. >

Modelo binomial

Los supuestos del modelo binomial incluyen principalmente:

1. No se pagan dividendos en acciones

2. son cero.

3. Los inversores pueden pedir prestado o prestar dinero a un tipo de interés libre de riesgo

4. >5. La volatilidad de las acciones es constante.

Supongamos que en un momento dado, el precio de los activos financieros es constante. La relación predeterminada aumenta o disminuye. Si el precio del activo es S en el momento t. puede aumentar a uS o caer a dS en el momento t+△t Supongamos que el precio del activo correspondiente aumenta a uS y el precio de la opción también aumenta a Cu. El precio del activo cae a dS y el precio de la opción también cae a Cd. Cuando un activo financiero sólo puede alcanzar estos dos precios, esta secuencia se denomina procedimiento binomial.