Teoría del espacio de Martin y del límite de potencial de Martin
El espacio compacto CC (y0 ∈ ω se puede determinar arbitrariamente) se llama espacio de Martin; δ=οω se llama límite de Martin. Todas las funciones xм→K(x, y)(y∏ω) tienen un desarrollo continuo y pueden distinguir δ. Se puede cuantificar. El límite euclidiano de la región general de R es completamente diferente de δ pero cuando ω es una esfera u otra región regular, es equivalente al cierre euclidiano de ω para la región verde simplemente conectada de R, δ es equivalente a Cala; Límites de la sucursal de Theodore.
La función armónica u & gt0 se llama función armónica mínima, lo que significa que cualquier función armónica positiva no mayor que u debe ser proporcional a u. Si u es extremadamente pequeño, debe haber x ∈ δ tal. que u(y) = u(y0)k(x,y). Tal x se llama punto mínimo de δ. Todos los puntos mínimos δ1 son conjuntos G λ. Para cualquier función armónica no negativa u, debe haber una medida de radón única μ distribuida en δ1 tal que θy∈ω.
Esta fórmula se llama expresión integral de Martin y su extremo derecho es la generalización de El potencial de doble capa. Generaliza el famoso teorema de Shokai sobre los puntos extremos de los conos convexos, lo que a su vez simplifica la demostración del primero.
El problema de Dirichlet también se puede considerar para la frontera de Martin. Podemos discutir un conjunto delgado y un conjunto grueso en x ∈ δ 1, y luego generalizar la topología delgada en ω a ω ∪ δ 1. Para cualquier función de suma ajustada hacia arriba u > 0 y función armónica h & gt0, u/h tiene límites finos en todas partes, excepto establecer como máximo una medición de H cero en δ1. Este es el famoso teorema del gráfico normal de Dube, es decir, en la esfera El armónico positivo. La función de tiene una generalización importante del límite que es casi tangente en todas partes del límite.
La compacidad de Martin tiene muchas formas generalizadas. Por ejemplo, cuando la familia de funciones considerada es el cociente de la función de Green G┡(x,y de una ecuación elíptica (especialmente δ u = pu) sobre ω.
(e(x) es una solución positiva acotada definida), se obtiene el límite elíptico de Martin δ┡can, y luego se puede estudiar la relación entre la dimensión elíptica de ω, la estructura del espacio de solución de la ecuación considerada y otros límites de δ┡and
Martin. Los límites pueden traducirse al lenguaje probabilístico y aplicarse y promoverse en la teoría de procesos estocásticos.