Cuando la institución pública pagó los salarios, el departamento financiero pagó demasiado, pero ella no se dio cuenta. ¿Debería decir eso?

Cualquier salario pagado en exceso debe ser devuelto. De lo contrario, podrían demandarlo por malversación de fondos. Está bien. No te metas en problemas. Es recomendable que se lo devuelvas a tu jefe para que te sientas tranquilo, pues mientras más dinero ganes, menor será la cantidad total de dinero que te dará el contador. Si el contador no puede encontrar a alguien a quien enviarle más dinero, tiene que pagarlo él mismo.