Matemáticas. .
Desde la antigüedad, la mayoría de la gente ha considerado las matemáticas como una sistema de conocimientos.Es la suma sistemática de conocimientos teóricos formados mediante un razonamiento lógico riguroso. No sólo refleja la comprensión de la gente de "las formas espaciales y las relaciones cuantitativas de Engels en el mundo real", sino que también refleja la comprensión de la gente de "posibles relaciones y formas cuantitativas". Las matemáticas no sólo pueden surgir de la abstracción directa del mundo real, sino también de la creación laboral del pensamiento humano.
Desde la perspectiva de la historia del desarrollo de la sociedad humana, la comprensión de las personas sobre las características esenciales de las matemáticas cambia y se profundiza constantemente. "La base de las matemáticas radica en el sentido común, y el ejemplo más obvio son los números enteros no negativos". La aritmética de Euclides se originó a partir de números enteros no negativos en el sentido común. Hasta mediados del siglo XIX, la exploración científica de los números seguía siendo común. sentido. "Otro ejemplo es la similitud en la geometría. "En el desarrollo individual, la geometría incluso precede a la aritmética. Uno de sus "primeros signos es el reconocimiento de la similitud". "Un conocimiento similar se descubre tan temprano" como en el nacimiento. "Por lo tanto, antes del siglo XIX, la gente generalmente creía que las matemáticas eran una ciencia natural y una ciencia empírica, porque las matemáticas estaban muy estrechamente relacionadas con la realidad en ese momento. Con la profundización de la investigación matemática, la visión de que las matemáticas son una ciencia deductiva gradualmente cambió en el siglo XIX. Poco a poco se volvió dominante después del período medio, que se desarrolló en la investigación de la escuela Bourbaki. Creían que las matemáticas son una ciencia que estudia estructuras, y todas las matemáticas se basan en estructuras algebraicas. Lo que es notable es que, empezando por Platón en la antigua Grecia, mucha gente cree que las matemáticas son el estudio de patrones. El matemático A. N. Whitehead (186-1947) dijo en "Mathematics and Goodness" que "la característica esencial de las matemáticas es seguir patrones". Patrones de investigación en procesos abstraídos de individuos individualizados. En 1931, la prueba del teorema de incompletitud de Gödel (k, G0de1, 1978) anunció las deficiencias del sistema de deducción lógica axiomática, por lo que la gente pensó que las matemáticas son una ciencia empírica. El famoso matemático von Neumann creía que las matemáticas son ambas cosas. Hay ciencia deductiva y hay ciencia empírica.
Las opiniones antes mencionadas sobre las características esenciales de las matemáticas deben analizarse desde una perspectiva histórica. De hecho, la comprensión de las características esenciales de los números se desarrolló con el desarrollo de las matemáticas. Debido a que las matemáticas provienen de la práctica de asignar bienes, calcular el tiempo, medir la tierra y el volumen, los objetos matemáticos en este momento (como producto del pensamiento abstracto) están muy cerca de la realidad objetiva, y las personas pueden encontrar fácilmente prototipos realistas de conceptos matemáticos. Por lo tanto, la gente naturalmente piensa que las matemáticas son una ciencia empírica; con la profundización de la investigación matemática, han surgido la geometría no euclidiana, el álgebra abstracta y la teoría de conjuntos. En particular, las matemáticas modernas se están desarrollando en la dirección de la abstracción, la multivariación y la alta. dimensiones. La atención de la gente se centra en estos objetos abstractos, las matemáticas se alejan cada vez más de la realidad y la prueba matemática (como una especie de razonamiento deductivo) ocupa una posición importante en la investigación matemática. Las matemáticas surgieron así como una creación libre de la mente humana, una ciencia que estudia la relación entre cantidades y estructuras abstractas. Estos conocimientos no sólo reflejan la comprensión cada vez más profunda de las matemáticas por parte de las personas, sino que también son el resultado de la comprensión de las matemáticas por parte de las personas desde diferentes aspectos. Como alguien dijo: "Engels creía que las matemáticas son el estudio de las relaciones cuantitativas y las formas espaciales en el mundo real, lo que no es incompatible con la visión estructural de Bourbaki. La primera refleja el origen de las matemáticas y la segunda refleja el desarrollo de las matemáticas modernas. Horizontal es un edificio construido a partir de una serie de estructuras abstractas. “La matemática es el conocimiento de los métodos de investigación, que es una explicación de las características esenciales de las matemáticas desde la perspectiva de los procesos y niveles abstractos de las matemáticas. Además, desde la perspectiva de las raíces ideológicas, la gente considera las matemáticas como una ciencia deductiva y una ciencia que estudia estructuras. Se basa en la creencia innata de los seres humanos en la inevitabilidad y precisión del razonamiento matemático y es una concentración de confianza en ellos. propias capacidades racionales, arraigo y poder. Por lo tanto, se cree que este método de desarrollo de teorías matemáticas, es decir, el razonamiento deductivo a partir de axiomas evidentes, es absolutamente confiable, es decir, si los axiomas son verdaderos, entonces las conclusiones derivadas de los axiomas también deben ser verdaderas. Aplicando estas lógicas aparentemente claras, correctas y perfectas, las conclusiones extraídas por los matemáticos son obviamente incuestionables e irrefutables.
De hecho, la mencionada comprensión de las características esenciales de las matemáticas se realiza desde el origen, forma de existencia, nivel abstracto, etc. de las matemáticas, principalmente a partir de los resultados de la investigación matemática. Obviamente, los resultados (como sistema de derivación teórica) no reflejan el panorama completo de las matemáticas.
Otro aspecto muy importante que constituye la matemática en su conjunto es el proceso de investigación matemática. Viéndola en su conjunto, la matemática es un proceso dinámico, un "proceso experimental de pensamiento" y un proceso de generalización abstracta de verdades matemáticas. Los sistemas lógicos deductivos son el resultado natural de este proceso. En el proceso de investigación matemática, se demuestran plenamente los aspectos ricos, vívidos y cambiantes de los objetos matemáticos. G. Poliva (1888-1985) creía que "las matemáticas tienen dos caras. Es la ciencia estricta de Euclides, pero también es algo más. Las matemáticas propuestas por el método de Euclides parecen ser una ciencia deductiva sistemática, pero las matemáticas en el El proceso creativo parece ser una ciencia experimental e inductiva", dijo Friedenthal. "Esta visión de las matemáticas como una actividad muy especial" es diferente de las matemáticas impresas en los libros. Algo grabado en la mente. "Él cree que a los matemáticos o los libros de texto de matemáticas les gusta expresar las matemáticas como "un estado bien organizado", es decir, la "forma de las matemáticas" la forman los matemáticos a través de su propia organización (actividades); pero para la mayoría de las personas, consideran las matemáticas. como herramienta no pueden prescindir de las matemáticas, es decir, para el público, necesitan aprender matemáticas a través de las matemáticas, para poder aprender las actividades correspondientes (matemáticas aplicadas). Según Tal, “las matemáticas son una actividad descubierta y organizada en. la interacción entre contenido y forma”. Efraim Fischbein dijo: “El ideal de un matemático es obtener una entidad de conocimiento rigurosa, coherente y lógica. Este hecho no impide que las matemáticas sean vistas como un proceso creativo: las matemáticas son una actividad esencialmente humana, las matemáticas son una invención humana. "La actividad matemática consiste en la interacción de tres componentes básicos: forma, algoritmo e intuición. Courant y Culanny Robbins también dijeron: "Las matemáticas son la expresión de la voluntad humana, que refleja la voluntad activa, el razonamiento reflexivo y el deseo de una perfección exquisita. Sus elementos básicos son la lógica y la intuición, el análisis y la construcción, la comunidad y la individualidad. Aunque diferentes tradiciones pueden enfatizar diferentes aspectos, es sólo la interacción de estas fuerzas opuestas y la lucha por su integración lo que constituye la vida, la utilidad y el alto valor de la ciencia matemática. "
Además, existen algunas comprensiones más amplias de las matemáticas. Por ejemplo, algunas personas piensan que "las matemáticas son un sistema cultural" y "las matemáticas son un lenguaje", y las actividades matemáticas son sociales. Es la cristalización del alto nivel de sabiduría humana para comprender, adaptarse y transformar la naturaleza, y mejorar el yo y la sociedad en la historia de la civilización humana. Algunas personas piensan que las matemáticas son un arte, “en comparación con ser un arte. matemáticas, casi prefiero considerarlas como un arte, porque las actividades creativas persistentes de los matemáticos bajo la guía del mundo racional (aunque no controlada) son similares a las actividades creativas de los artistas, como los pintores. Esto es real y no imaginado. El riguroso razonamiento deductivo de los matemáticos puede compararse aquí con habilidades especiales de atención. Así como no se puede llegar a ser pintor sin un cierto nivel de habilidad, no se puede llegar a ser matemático sin un cierto nivel de razonamiento preciso. Estas cualidades son las más básicas. Junto con otras cualidades más sutiles, constituyen las cualidades de un buen artista o de un buen matemático, siendo la más importante en ambos casos la imaginación. "Las matemáticas son la música del razonamiento" y "la música es la matemática de las imágenes". Esta es una discusión sobre la naturaleza de las matemáticas desde la perspectiva del proceso de investigación matemática y las cualidades que deben poseer los matemáticos. actitud básica hacia las cosas y un método, un espíritu y un concepto, es decir, el espíritu de las matemáticas, conceptos y actitudes matemáticas. En el artículo "Las matemáticas en la sociedad", Mogens Ness cree que las matemáticas son una disciplina, "en un sentido epistemológico, es una disciplina. Una ciencia cuyo objetivo es establecer, describir y comprender objetos, fenómenos, relaciones y mecanismos en determinados campos. Si el campo está formado por lo que normalmente consideramos entidades matemáticas, entonces las matemáticas desempeñan el papel de una ciencia pura. En este caso, las matemáticas apuntan al autodesarrollo interior y a la autocomprensión, independientemente del mundo exterior. Por otro lado, las matemáticas desempeñan un papel en el uso de la ciencia si el campo en consideración existe fuera de las matemáticas. La diferencia entre estos dos aspectos de las matemáticas no es una cuestión de contenido matemático en sí, sino de un enfoque diferente de atención de las personas. Ya sean puramente teóricas o aplicadas, las matemáticas como ciencia ayudan a generar conocimiento y percepción. Las matemáticas también son un sistema de herramientas, productos y procesos que nos ayudan a tomar decisiones y acciones relacionadas con el dominio de áreas prácticas más allá de las matemáticas. Las matemáticas son un campo estético que puede proporcionar belleza, placer y estimulación a muchas personas adictas a ellas.
Como materia, las matemáticas necesitan una nueva generación para difundirse y desarrollarse. El aprendizaje de las matemáticas no ocurre automáticamente al mismo tiempo y es necesario enseñarlo. Por tanto, las matemáticas también son una materia de enseñanza en nuestro sistema de educación social. "
De lo anterior se puede ver que la gente piensa desde dentro de las matemáticas (y desde las perspectivas del contenido matemático, la expresión, el proceso de investigación, etc.). Discutimos las matemáticas y la sociedad, las matemáticas y otras disciplinas, Matemáticas y seres humanos La relación entre el desarrollo. Todos reflejan las características esenciales de las matemáticas desde un aspecto y nos brindan una perspectiva para comprender integralmente la esencia de las matemáticas
Basado en la comprensión anterior de las características esenciales. de las matemáticas, la gente también las explora desde diferentes aspectos. La opinión general es que las matemáticas tienen las características de abstracción, precisión y amplia aplicación, entre las cuales la abstracción es la característica más esencial. Alexander Love dijo: "Incluso si tenemos un conocimiento matemático superficial, se pueden percibir fácilmente estas características de la matemática: primero, es abstracta; segundo, es precisa, o mejor dicho, es el rigor de la lógica y la certeza de las conclusiones, finalmente, su aplicación es sumamente amplia; "Wang Zikun dijo: "Las características de las matemáticas son: abstracción de contenido, amplia aplicación, rigor de razonamiento y certeza de conclusiones. "Esta visión se basa principalmente en el contenido de las matemáticas. Además, desde la perspectiva del proceso de investigación matemática y la relación entre las matemáticas y otras disciplinas, las matemáticas también son vívidas, realistas y casi empíricas. Las características de la "falsabilidad" ". Para las matemáticas La comprensión de las características también tiene las características de los tiempos. Por ejemplo, el rigor de las matemáticas tiene diferentes estándares en cada período de desarrollo histórico de las matemáticas, desde la geometría euclidiana hasta la geometría de Robert Barczewski y los axiomas de Hilbert. Sistema, los criterios de evaluación para el rigor son muy diferentes, especialmente después de que Gödel propuso y demostró el "Teorema de la incompletitud...", la gente descubrió que incluso el riguroso método científico de axiomatización, que alguna vez fue muy respetado, era defectuoso. en la historia del desarrollo de las matemáticas Respecto a la plausibilidad de las matemáticas, Paulia señaló en su "Matemáticas y Conjeturas" que "las matemáticas se consideran una ciencia de argumentación. Sin embargo, este es sólo un aspecto. La forma final de matemáticas estereotipadas parece ser puramente material de demostración, con sólo pruebas. Sin embargo, el proceso de creación de matemáticas es el mismo que el proceso de creación de cualquier otro conocimiento. Antes de demostrar un teorema matemático, debes adivinar cuál es el teorema. Antes de realizar una prueba detallada, debes adivinar la idea de la prueba. Hay que sintetizar los resultados observados y luego hacer una analogía. Tienes que hacerlo una y otra vez. El resultado del trabajo creativo de un matemático es un argumento, una prueba, pero esta prueba se descubre mediante razonamientos y conjeturas sólidos. Mientras el proceso de aprendizaje de las matemáticas refleje, aunque sea remotamente, el proceso de invención matemática, las conjeturas y el razonamiento sólido deberían tener el lugar que les corresponde. "Es desde esta perspectiva que decimos que la certeza de las matemáticas es relativa y condicional, y para las matemáticas es vívida, realista y casi empírica. El énfasis en la característica de "falsabilidad" en realidad resalta la importancia de la observación, la experimentación y análisis en la investigación matemática.
Desde que los humanos aprendieron a contar, han estado tratando con números naturales. Por necesidades prácticas, el concepto de números se amplía aún más. Los números naturales se denominan enteros positivos y sus opuestos. los números enteros negativos, y los números neutros entre enteros positivos y negativos se llaman 0.
Para los números enteros, se pueden realizar cuatro operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación y división, que se denominan cuatro operaciones aritméticas. En otras palabras, dos o más enteros cualesquiera se suman, restan o multiplican, su suma, diferencia o producto sigue siendo un número entero. Sin embargo, la división entre números enteros puede no ocurrir sin problemas dentro del rango de números enteros. >
En la aplicación e investigación de operaciones con números enteros, las personas se han ido familiarizando gradualmente con las características de los números enteros. Por ejemplo, los números enteros se pueden dividir en dos categorías: números impares y números pares (a menudo llamados números impares y números pares). etc. Puede utilizar además algunas propiedades básicas de los números enteros. Explorar muchas leyes matemáticas interesantes y complejas es el encanto de estas características que ha atraído a muchos matemáticos a estudiar y explorar a lo largo de los siglos.