¿Es el precio de las acciones en enero del próximo año un problema de regresión logística?
Si eres principiante es normal sentir mareos. No importa. Seamos un poco más claros.
Volvamos primero a la regresión lineal. Todos sabemos que y = WX b en regresión lineal. Podemos encontrar la Y correspondiente a X hasta W y B, donde Y es un valor continuo y es un modelo de regresión, ¿verdad? Pero si quieres que este modelo haga clasificación, ¿qué debes hacer? Es fácil pensar que podemos establecer umbrales artificialmente, ¿verdad? Por ejemplo, especificamos que la clasificación final de y es 1. El mayor problema con y
es que si simplemente diseñamos un umbral para juzgar, la Y final será una función por partes, y la función por partes será discontinuo, lo que hará que no podamos encontrar el gradiente. Para resolver este problema, tenemos que encontrar una función suave que pueda usarse tanto para clasificación como para gradiente.
Pronto, los científicos de la información descubrieron tal función, que es la función sigmoidea. Su expresión es:
357572 DFD 95 e 096 f6b 1db 8d 0418b 7666
<. p>La imagen funcional es la siguiente:3c 9 F8 ea 71 Dade 02 bee 91d 6837 a9 ab 772
Se puede ver que la función sigmoidea se toma en x. =0 El valor es 0,5, el límite es 1 en el infinito positivo y el límite es 0 en el infinito negativo. La función es continuamente diferenciable en todas partes. El rango de valores de la función sigmoidea es 0-1, lo cual es muy adecuado para reflejar la probabilidad de que ocurra un evento. Creemos que
σ(x) representa la probabilidad de que X ocurra, por lo que la probabilidad de que X no ocurra es 1-σ(x). Consideramos la ocurrencia y la no ocurrencia como dos categorías, por lo que la función sigmoidea se transforma en una función de clasificación. Si σ(x)>0,5 representa la categoría 1, en caso contrario representa la categoría 0.
Esto es muy simple, podemos obtenerlo mediante regresión lineal
00f 6409 abfa 62 fff 48 ef 6345454 c 1307
Es decir, somos lineales Se configura una capa de función sigmoidea fuera del modelo de regresión, se obtienen diferentes probabilidades calculando diferentes y, y finalmente se obtienen diferentes resultados de clasificación.
Función de pérdida
La siguiente interpretación está llena de mucha energía. Creo que tendrás tres vistas consecutivas (me gusta, avanzar y seguir) después de leerla.
Empecemos. Primero determinemos el símbolo. Para distinguir, denominamos la clasificación verdadera en la muestra de entrenamiento como Y, y la matriz de Y se escribe como Y. De manera similar, una sola muestra se escribe como x, la matriz de x y x se escribe como x, el resultado de una sola predicción se escribe como y_hat, y todos los resultados de la predicción se escriben como Y_hat.
Para una sola muestra, y tiene dos valores, que pueden ser 1 o 0. 1 y 0 representan dos clasificaciones diferentes. Esperamos que cuando y = 1, cuanto mayor sea y_hat, mejor. Cuando y = 0, cuanto mayor sea 1-y_hat, mejor, es decir, cuanto más pequeño sea y_hat, mejor, porque su valor está entre 0 y 1. . Usemos una fórmula para unificar los dos casos:
4e 1d 139 e 638 f22b 1f 7 C3 c 34 EC 7 AC 1750
Reemplacémoslo. Cuando y = 0, el término anterior es 1 y sólo el último término permanece en la expresión. De manera similar, cuando y = 1, el último término es 1 y sólo queda el primer término. Entonces esta fórmula puede expresar la probabilidad de una predicción precisa. Esperamos que cuanto mayor sea la probabilidad, mejor. Es obvio que P (y | x) >: 0, por lo que podemos logaritmizarlo porque la función logarítmica es monótona. Entonces, cuando P(y|x) toma el valor máximo, es el valor máximo de log P(y|x).
b 493206 F3 f 6 AC 1d 18987 cc 2136d 43 e 74
Esperamos que este valor sea el mayor, es decir, esperamos que su recíproco sea el más pequeño. Usamos
BD 1691 F5 ed 6 d3b 14ad 6678 ea 7a b4a 73 e
De esta forma se obtiene su función de pérdida:
18ae 4824989. EB 45 a 1a 568 bb 8 AFC 0 b .
Si conoce el concepto de entropía cruzada, encontrará que la expresión de esta función de pérdida es en realidad entropía cruzada. La entropía cruzada es una medida de la "distancia" entre dos distribuciones de probabilidad. Cuanto menor es la entropía cruzada, más cercanas están las dos distribuciones de probabilidad, por lo que a menudo se utiliza como función de pérdida del modelo de clasificación. No entraremos en detalles sobre el concepto de entropía cruzada aquí, pero lo presentaremos en detalle en artículos posteriores. No es coincidencia que la función de pérdida que derivamos aleatoriamente sea entropía cruzada. De hecho, la capa inferior está respaldada por un conjunto de lógica matemática de teoría de la información, por lo que no la expandiremos mucho y los estudiantes interesados pueden aprender sobre ella.
Derivación del núcleo duro
Con la función de pérdida, el siguiente paso es encontrar el gradiente para implementar el descenso de gradiente.
Esta función parece muy complicada y calcular directamente el gradiente de la derivada parcial es demasiado difícil (peligroso). Si los estudiantes no están expuestos a altas matemáticas durante mucho tiempo, su hígado será tan duro como su resistencia a los logros académicos.
ade 04 cadcb 25 c 9674 f 76 EC 1fa 217eb 85
Para simplificar la dificultad, primero hacemos un trabajo preparatorio. Primero, veamos la función σ. Su forma es muy compleja. Primero encuentre su derivada.
77509348117bf 958 BD 84c 57 fbbe 2c 048 .
Como y_hat = σ (θX), lo incorporamos a la función de pérdida, donde σ (θX) se abrevia como σ( θ):
7cc 17ea 96 BD 209 a6a 71 e30 a 89827553 e
Luego encontramos la derivada parcial de J(θ) con respecto a θ, aquí necesitamos. sustituir la superficie superior σ (x) Conclusión de la derivación:
363 b 945 b 9 B4 cc 57919d 3d 503 c 45 c0ff 6. png
Práctica de código
Fórmula de gradiente Ahora que se ha deducido, ¿todavía está lejos de escribir código?
Pero una mujer inteligente no puede cocinar sin arroz. Antes de hacer el modelo, primero intentemos hacer un lote de datos.
Elegimos una escena muy sencilla en el examen de la vida. Suponga que cada estudiante necesita tomar el examen dos veces y que las puntuaciones de las dos pruebas se suman para obtener la puntuación final. Tenemos una gran cantidad de datos sobre si los estudiantes están calificados o no. Esperamos diseñar un modelo de regresión logística que nos ayude a calcular directamente si los estudiantes están calificados.
Para evitar que la función sigmoidea esté sesgada, escalamos las puntuaciones de cada curso al rango de (0, 1). Si las puntuaciones combinadas de los dos cursos superan los 140 puntos, se considerará un aprobado global.
2d 25 F5 bfaa 9 EC 45 a 3089 C4 f 12c 201 CCF
Los datos de entrenamiento obtenidos de esta forma tienen dos características, a saber, las puntuaciones de los estudiantes en los dos. cursos y se utiliza un desplazamiento parcial 1 para registrar el desplazamiento de la constante.
Entonces, de acuerdo con la fórmula anterior, no es difícil (realmente no difícil) para nosotros implementar las funciones sigmoidea y de descenso de gradiente.
2bf 9363d 9 bb 6a 71 a0e 0 e 33 a 1234 d5c 7 b
Esta función implementa el descenso de gradiente por lotes, que los estudiantes familiarizados con Numpy pueden ver. Este es un conjunto sencillo de fórmulas.
Finalmente, trazamos la línea divisoria entre el conjunto de datos y la regresión logística.
097 c 155 cf 08 a 23 EFC 7 D2 e 3d 69 b 4704 e 2
El resultado final es el siguiente:
9. db 92 F8 f 8681 c 247 a6 CBA 139152 C5 ca 2 png
Versión de descenso de gradiente estocástico
Se puede encontrar que después de 654.38 00000 iteraciones, el modelo que obtuvimos puede identificarse correctamente. todas las muestras.
Acabamos de implementar el algoritmo de descenso de gradiente completo, que también se puede optimizar mediante el descenso de gradiente estocástico. La optimización también es muy sencilla. Cuando calculamos el gradiente, ya no nos centramos en los datos totales, sino que seleccionamos uno del conjunto de datos para calcular el gradiente.
Básicamente, el código con descenso de gradiente se puede reutilizar y solo es necesario optimizar partes seleccionadas de la muestra.
CFD 38 E0 b 28894 b 1016968075 E6 a 1 bc3b .
Establecimos el número de iteraciones en 2000 y los resultados finales de la imagen de separación son los siguientes:
6a 1a9d 6962 BF 1b 801f0a 8801883 dec 05 .
Por supuesto, el código anterior no es perfecto, es solo una demostración simple y todavía hay mucho margen de mejora y optimización. . Simplemente dé un ejemplo para que todos lo sientan intuitivamente: de hecho, no es difícil escribir el modelo usted mismo y la derivación de la fórmula también es muy interesante. Ésta es también la razón por la que establecí un tema especial en matemáticas avanzadas. También descubrí muchos conocimientos de informática. Es muy divertido inspirarse en generate mientras se aprende. Espero que todos puedan encontrar su propia diversión.
El artículo de hoy termina aquí. Si tiene alguna idea, sígala o reenvíela. Tu pequeño esfuerzo significa mucho para mí.
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