Transformaciones directas y transformaciones afines de geometría proyectiva, grupos proyectivos

Considere una transformación proyectiva bidimensional en un plano. El plano es tanto la base del campo de puntos como la base del campo de líneas, por lo que la transformación proyectiva en él puede convertir puntos en puntos (o líneas en líneas), o puntos en líneas (o líneas en puntos). La primera se llama transformación directa y la segunda se llama transformación afín.

La transformación inversa de la transformación directa y su producto (es decir, la transformación formada por la acción continua de dos transformaciones directas) son ambas transformaciones directas. Por tanto, todas las transformaciones directas en el plano forman un grupo, llamado grupo directo del plano. La característica de la transformación directa es cambiar los puntos de la línea * * * en los puntos de la línea * * *, por lo que se puede decir que la línea recta también se convierte en una línea recta. La transformación directa se puede representar mediante una transformación lineal (2) con respecto a las coordenadas de los puntos. Si cambia la línea recta (□) a (□), se puede obtener mediante las condiciones relevantes.

□ (4) donde □□ es el cofactor (□□) de □□ en la matriz cuadrada, y □ es la constante proporcional. Se puede considerar que (2) y (4) representan la misma transformación directa. La única diferencia entre ellos es que uno usa coordenadas de puntos y el otro usa coordenadas de línea.

De manera similar, la transformación inyectiva cambia la línea recta de * * * puntos en los puntos de * * * línea, y cambia los puntos de * * * línea en la línea recta de * * * puntos, es decir , la línea se convierte en un punto y el punto se convierte en una línea. El producto de dos transformaciones inyectivas es una transformación directa. Las transformaciones inyectivas no forman un grupo, pero todas las transformaciones directas y las transformaciones inyectivas en el plano forman un grupo, que se llama grupo proyectivo. Los grupos directos son subgrupos de grupos proyectivos. Pero en ocasiones también se utiliza el término grupo proyectivo para referirse a un grupo directo.

Debido a que la transformación afín del plano convierte puntos en líneas y líneas en puntos, encarna el principio de dualidad en el plano manteniendo la correlación.

Del mismo modo, existen transformaciones directas y transformaciones afines en el espacio. El primero convierte puntos en puntos y superficies en superficies, mientras que el segundo convierte puntos en superficies y superficies en puntos. Todos convierten líneas rectas en líneas rectas. Todas las transformaciones directas en el espacio forman un grupo directo, y todas las transformaciones directas y afines forman un grupo proyectivo. La transformación inyectiva espacial encarna el principio de dualidad espacial.

La transformación proyectiva de todos los puntos de la recta constituye el grupo proyectivo de la recta.

Otras formas básicas tienen sus propios grupos de proyección.

上篇: ¿Cómo escribir el contenido del diseño de un cartel? ¿Cuál es el contenido del diseño de carteles publicitarios? 下篇: ¿Cuál es la tasa de interés de los préstamos pequeños?