¿De dónde vienen los logaritmos?

¿Podemos introducir una cantidad intermedia m y usar m para representar x, y, z, y, z respectivamente? Me pregunto si la fórmula exponencial se puede resolver usando el método logarítmico.

Resolver (1)Solución 1 3x=4y? log33x=log34y? x=ylog34? 2x=2ylog34=ylog316,

∴p=log316.

Solución 2 Sea 3x=4y=m, tome el logaritmo:

x lg3=lgm, ylg4=lgm,

∴x=lgmlg3, y=lgmlg4, 2x=2lgmlg3, py=plgmlg4.

De 2y=py, obtenemos 2 lgml 3 = PLGmlg4.

∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.

(2)∫2 = log39 lt; log 316 lt; p lt3.

Y 3-p = log 327-log 316 = log 32716,

p-2 = log 316-log 39 = log 3169,

y 2716

∴log32716lt;log3169,∴p-2gt;3-p.

El número entero más cercano a p es 3.

Pensamiento de resolución de problemas

Promover múltiples soluciones a un problema. Diferentes ideas, diferentes métodos, diferentes conocimientos o la aplicación flexible de un mismo conocimiento no sólo dispersa el pensamiento, sino que también mejora la capacidad de analizar y resolver problemas. ¿por qué no?

②(2) incluye comparar la magnitud de dos logaritmos. Ésta es la razón de dos logaritmos con la misma base, porque base 3 > 1, por lo que el logaritmo de un valor verdadero grande es grande y el problema se transforma en comparar el tamaño de dos valores verdaderos. Aquí, la monotonicidad de la función logarítmica se aplica de antemano para animar a los estudiantes a aprender de forma anticipada y consciente. (3) La solución es 3x=4y=6z=m, porque x, y, z∈R,

∴kgt 1, entonces x=lgmlg3, y=lgmlg4, z=lgmlg6,

Entonces 1z-1x = LG 6 lgm-LG 3 lgm = lg6-LG 3 lgm = LG 2 lgm, 12y = 12 LG 4 lgm = LG 2 lgm,

Por lo tanto, 12y= 1z-1x.

Solución 2 3x=4y=6z=m,

Entonces quedan 3 = M1x1, 4 = M1Y2, 6=m1z③,

③ ÷ ①, El resultado es m 1z-1x = 63 = 2 = m 12y.

∴1z-1x=12y.

Nueve

Se sabe que los números positivos A y B satisfacen a2 b2=7ab. Demuestre: logma B3 = 12(logma logmb)(m > 0 y m ≠ 1).

Analizar los conocidos a gt0, b gt0, a2 b2=7ab. Para demostrar que todos los números reales en la fórmula solo incluyen a y b, estoy pensando: ¿puedo convertir también la expresión lineal de los números reales en una expresión cuadrática y luego aplicar a2 b2=7ab?

Respuesta logma b3=logm(a b3)212=

Habilidades para resolver problemas

①Convierte un b3 en el segundo para facilitar a2 b2= La aplicación de 7ab es una de las habilidades.

② Utilice a2 b2=7ab para convertir la fórmula de suma de números reales en la fórmula del producto de ab para facilitar la aplicación de operaciones logarítmicas. La segunda habilidad es propiedad de 12 logma B32 = 12 logma 2 B2 2ab 9.

∫a2 B2 = 7ab,

∴logma b3=12logm7ab 2ab9=12logmab=12(logma logmb),

Es decir, logma b3=12( logma logmb).

Expansión y divergencia del pensamiento

1

El grupo de interés en matemáticas estudió específicamente la relación entre la notación científica y los logaritmos ordinarios. Supongamos que el número real N = a × 10n, donde N > 0, 1 ≤ a < 10, n ∈ Z. Esta es la notación científica del número real n. Basta estudiar el logaritmo común del número n para revelar el misterio.

Analíticamente se sabe que el logaritmo común de N=a×10n es lgN=n lga. ¿Cuál es la relación entre los números reales y los logaritmos?

Respuesta lgn = LG (a× 10n) = n LGA. n ∈ z, 1 ≤ a

∴lga∈〔0, 1).

Llamamos al número entero n el primer número del logaritmo común de n, y lga es el primero número del logaritmo común de n La mantisa de un logaritmo de uso común es un decimal puro positivo o 0.

Resumen: ①①El número principal de lgN es el exponente de 10n en n, y la mantisa es LGA, 0 ≤ LGA

②Para diferentes números positivos con los mismos dígitos efectivos, la mantisa del logaritmo de uso común Lo mismo, pero con diferentes prefijos

③Cuando N≥1, el prefijo N de lgN es 1 menor que sus dígitos enteros cuando n ∈ (0, 1), el prefijo n; de lgN es un entero negativo. El número de ceros después del punto decimal |-1 es el mismo que el número de ceros antes del primer dígito significativo de n que no es 0.

Interacción profesor-alumno

¿Qué es la notación científica?

¿Cuál es la relación entre el primer y el último dígito de N gt0, 0, lgN y a×10n?

¿Cuáles son los logaritmos comunes de diferentes números positivos con las mismas cifras significativas? ¿Cuál es la diferencia?

2

Si el prefijo de lgx es 9 mayor que lg1x, ¿entonces la mantisa de lgx es menor que lg1x en 0?380 4, y lg0.203 4=1.308 3. Encuentre lgx, x, el valor de lg1x.

Análisis 1 ①lg0.203 4=1 0?308 3, es decir, lg0.203 4=1 0.308 3, 1 es el primer número del logaritmo, 0.308 3 es la mantisa del logaritmo, que es positivo Decimal puro ② Si lgx = n lga, también se puede expresar como lg1x.

Supongamos lgx=n lga. Según el significado de la pregunta, lg1x=(n-9) (lga 0.380 4).

Lg1x=-lgx=-(n lga),

∴(n-9) (lga 0?380^4)=-n-LGA, donde n-9 es Número primo, lga 0?380 4 es la mantisa, -n-LGA =-(n 1) (1-lga), -(n 1) es el prefijo, 1-LGA es la mantisa, entonces:

n -9=-(n 1)

lga 0.380 4=1-lga? n=4,

lga=0,308 3.

∴lgx=4 0.308 3=4.308 3,

∫LG 0.203 4 = 1.308 3, ∴x=2.034×104.

∴lg1x=- (4 0,308 3)= 5,691,7.

Reglas para resolver problemas

Considerar el primer y último número de lgx y lg1x como números desconocidos, y enumerar el sistema de ecuaciones según la relación de equivalencia del problema, es una práctica común. método para resolver este tipo de problemas. Entonces el primer número del mismo logaritmo es igual al primer número y el último número es igual al último número.

Cálculo:

(1)log2-3(2 3) log6(2 3 2-3);

(2)2lg(lga100)2 lg(lga).

¿Cuál es la relación entre 2 3 y 2-3 en (1)? 2 3 2-3 número de raíz doble, ¿cómo simplificarlo?

(2) El denominador no se puede simplificar. ¿Se pueden simplificar las moléculas?

Métodos para resolver problemas

Revise cuidadosamente las preguntas, comprenda el significado de las preguntas, comprenda las características y encuentre ideas y métodos claros para resolver los problemas. No te dejes intimidar por la superficialidad y la dificultad. La fórmula de respuesta original (1) = log2-3(2-3)-1 12 log6(2 3 2-3)2.

=-1 12 registro 6(4 22 32-3)

=-1 12log66

=-12.

( 2) Fórmula original = 2LG(100 LGA)2 LG(LGA)= 2[LG 100 LG(LGA)]2 LG(LGA)= 2[2 LG(LGA)]2 LG(LGA)= 2

Cuatro

Se sabe que log2x = log3y = log5z

Se sabe que la solución analítica es una ecuación logarítmica, y la magnitud a comparar es la fórmula radical, que se puede convertir en una potencia exponencial. Por tanto, las ecuaciones logarítmicas deben convertirse en ecuaciones exponenciales.

Supongamos log2x = log3y = log5z = m

x=2m, y=3m, z=5m.

x=(2)m, 3y=(33)m, 5z=(55)m.

Simplemente compare 2 y 33, el tamaño de 55:

(2)6=23=8, (33)6=32=9, entonces 2

(2) 10 = 25 = 32, (55) 10 = 52 = 25,

∴2gt;

∴55lt;

La Figura 2-7-1 examina la imagen de la función exponencial y = (2) x, y = (33) x, y = (55) x en el segundo cuadrante, como se muestra en la Figura 2-7-1 ?

Reglas para resolver problemas

① La idea de transformación es una idea matemática importante y existe una estrecha relación entre logaritmos y exponentes. Al resolver problemas relacionados, se debe prestar total atención a esta relación y a la conversión mutua entre logaritmos y exponenciales.

② Para comparar la potencia del exponente de un mismo índice (su base es mayor que 0), el primer cuadrante (su exponente es mayor que 0) o el segundo cuadrante (su exponente es menor que 0) en Se deben utilizar el mismo sistema de coordenadas para propiedades de múltiples funciones exponenciales.

① es y=(55)x, ② es y=(2)x, ③ es y = (33) x Índice m

Prueba de desafío potencial

1(1) Convierte la siguiente fórmula exponencial en una fórmula logarítmica:

①73=343; ②14-2=16;

(2) Convierte la siguiente fórmula logarítmica en una fórmula exponencial:

①log 128 =-3; ②LG 10000 = 4;

2 cálculo:

(1)24 log23; (2)2723-log32; (3)2513log527 2log52.

3(1) Dado lg2=0.301 0, lg3=0.477 1, encuentre lg45

(2) Si lg3.127=a, encuentre lg0.031 27.

4 Si se sabe que a≠0, entonces el número total de las siguientes categorías que son equivalentes a log2a2 es ().

aSi logx 1(x 1)= 1, el rango de valores de x es ().

Se sabe que ab = M(a gt; 0, b gt0, M≠1), y logMb=x, el valor de logMa es ().

aSi log63=0,673 1, log6x=-0,326 9, entonces x es ().

aSi log5 [log3 (log2x)] = 0, entonces x=.

98log87 log76 log65=.

10Si las dos raíces de la ecuación lg2x (lg2 ​​​​lg3) lgx lg2 lg3 = 0 son x1 y x2, entonces el valor de x1 es x2.

11 La ecología señala que en un sistema biológico, por cada entrada de energía a un nivel trófico, sólo alrededor del 10% de la energía fluye al siguiente nivel trófico. H1→H2→H3→H4→H5→H6 (Hn representa el enésimo nivel trófico, n = 65438)

Se sabe que 12 x, y, z∈R y 3x=4y=6z. Compare tamaños 3x, 4y, 6z.

13 Se sabe que A y B son números positivos distintos de 1, axby=aybx=1. Demuestre x2=y2.

14 Se sabe que 2a 5b = 2c 5d = 10, lo que demuestra (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).

15Supongamos que el conjunto M = { x | LG[AX2-2(A 1)x-1]> 0 }, si M≦? ,¿METRO? {x | x lt0}, el rango de valores del número real a.

El día 16, en el Centro de Supercomputación de Shanghai en el Parque de Alta Tecnología de Zhangjiang, la computadora llamada "Shenwei No. 1" opera a una velocidad de 384000000000 veces por segundo. Este número se expresa como N= en notación científica. Si se sabe que lg3.840=0.584 3, entonces lgN=.

17 Una fábrica ha introducido nuevos equipos de producción y se espera que el costo de producción se reduzca en un 10 % en comparación con el año anterior. ¿Después de cuántos años el costo de producción bajará a 40? (lg2=0.3, lg3=0.48)

18 Para adaptarse a la reforma y apertura, mejorar el mecanismo de gestión y satisfacer la demanda del mercado, un determinado producto crecerá una media de 10,4 por trimestre. en comparación con el trimestre anterior, y aumentará X veces después del trimestre Y, entonces Función y=f(x) =.

Profesores famosos te ayudarán a crecer.

1.(1)①log7343=3. ②log1416=-2. ③lnm=-5.

(2)①12-3=8.②104=10 000.③ep=3.5.

2. (1) Marcación de 48 puntos: primero aplique la potencia del producto y luego use la identidad logarítmica.

(2)Marcación de 98 puntos: Aplica la potencia y las identidades logarítmicas de cocientes.

(3)144 Nudge: Aplicar las propiedades de las operaciones logarítmicas y potencias de productos.

3. (1) 0,826 6: LG45 = 12lg 45 = 12lg 902 = 12(LG32 LG 10-LG2).

(2)LG 0.031 27 = LG(3.127×10-2)=-2 LG 3.127 =-2 a

4.c Marcar: a≠0, a puede ser Para números negativos, es necesario prestar atención al significado de los logaritmos al aplicar las propiedades de las operaciones logarítmicas.

5.b Marcar: abajo x 1 > 0 y x 1 ≠ 1; número real x 1 > 0.

6. la base.

Disco 7.c: Nota 0.673 1 0.326 9 = 1, LOG 61x = 0.326 9,

Entonces log 63 log 61x = log 63x = 1. ∴ 3x = 6, x = 12.

8.x=8: De fuera hacia dentro. log3 (log2x) = 1, log2x = 3, x = 23.

9.5 empujón: log87 log76 log65 = log85, 8log85 = 5.

10.16 Cuo: Las dos raíces de la ecuación cuadrática de lgx son lgx1 y lgx2.

De lgx1=-lg2, lgx2=-lg3, x1=12, x2=13.

11. Supongamos que el enésimo nivel trófico obtiene 100 kilojulios de energía,

Según el significado de la pregunta: 106 10100n-1 = 100,

Simplificado: 107- n=102, usa la misma ecuación de potencia base, 7-n=2,

o toma el logaritmo común de ambos lados para obtener 7-n=2.

∴n=5, es decir, el quinto nivel trófico puede obtener 100 kilojulios de energía.

12? Supongamos que 3x=4y=6z=k, porque x, y, z∈R,

Entonces k gt1. Tomando el logaritmo con k como base, obtenemos:

p>

x=1logk3, y=1logk4, z=1logk6.

∴3x=3logk3=113logk3=1logk33,

De manera similar: 4y = 1logk44, 6z = 1logk66.

Y 33 = 1281, 44 = 1264, 66 = 1236,

∴logk33gt; logk44 gtlogk66.

K gt1,0,33 gt44>66>1,

∴logk33gt;logk44 gtlogk66>0,∴3xlt;4ylt6z.

13. ∵axby=aybx=1, ∴lg(axby)=lg(aybx)=0,

Eso es xlga ylgb = ylga xlgb = 0. ※.

La suma de las dos expresiones da x(lga lgb) y(lga lgb)=0.

Es decir (lga lgb)(x y)=0. ∴lga lgb=0 o x y=0.

Cuando lga lgb=0, sustituye xlga ylgb=0 y obtienes:

(x-y)lga=0, a es un número positivo lga≠0, ∴x-y=0, no 1 .

∴x y=0 o x-y=0, ∴x2=y2.

14.∫25b = 10, ∴ 2A-1 = 51-b Tomando los logaritmos de ambos lados. como Abajo, obtenemos: A-1 = (1-b).

∴log25 = a-11-b(b≠1). De la misma forma, log25 = c-11-d(d≠1).

Es decir, cuando B ≠ 1 y D ≠ 1, A-11-B = C-11-D.

∴(a-1)(1-d)=(c-1)(1-b),

∴(a-1)(d-1)=( b-1)(c-1).

Cuando B = 1, C = 1, es obviamente cierto.

15. Supongamos que LG[AX2-2(a 1)x-1]= t(t > 0), entonces

ax2-2(a 1)x-1 = 10t(t gt; 0).

∴10tgt 1, ax2-2(a 1)x-1 gt 1, ∴ax2-2(a 1)x-2gt; p>

(1) Cuando a=0, el conjunto solución {x | x

Cuando a≠0, M≦? ¿Y qué hay de m? { x

2 Cuando a gt0, m = { x | xX2}, obviamente no {x | p>

③ Cuando a

a lt0,

δ = 4(a 1)2 8a gt 0,

x 1 x2 = 2(a 1)a lt;

x 1x 2 =-2a gt; ; 0.

La solución es 3-2

16.N=3.840×1011, lgN=11.584 3.

17. Supongamos que después de X años, el coste se reducirá a los 40 originales.

(1-10)x=40, tomamos los logaritmos comunes de ambos lados y obtenemos:

x lg(1-10)=lg40,

Es decir x = LG 0.4 LG 0.9 = lg4-1lg 9-1 = 2lg 2-12lg 3-1 = 10.

Así que 10 años después, el costo bajó a los 40 originales.

18. f(x) = log 1.104 x [o f(x) = lgxlg1.104].

Abrazo: Si el producto del trimestre anterior es a, entonces A (1 10.4) y = Xa, ∴ y = log1.104x. .