Propiedades del cepstrum complejo

Fundamentos del procesamiento de información geofísica

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, podemos extraer la misma verdad. Además, tome z = EJω y expanda [lnzr]z = EJω= JRω en una serie de Fourier, que es

Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica

Así que tenemos

Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica

Es decir,

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Por lo tanto, la transformada z inversa de lnzr es

Conceptos básicos de la Tierra para el procesamiento de información física

Esta es una secuencia de pulsos de fase positiva y negativa con una amplitud que disminuye gradualmente. Por tanto, su contribución al complejo cepstrum es muy regular y no tiene nada que ver con la señal x(n). Por lo tanto, cuando se analiza el cepstrum complejo de x(n), se puede ignorar la influencia de zr. El primer lnA sólo tiene sentido si a > 0; si a < 0, para que las operaciones logarítmicas tengan sentido, el valor absoluto de a tiende a ser logarítmico. De esta manera, la transformada z inversa de ln∣A∣ es igual a ln∣A∣δ(n), donde δ(n) es la secuencia de pulsos unitarios. Tenga en cuenta que el inverso Z de las cuatro sumas en el lado derecho de la ecuación (5-15) no contribuye, por lo que sí lo es.

Para resumir, tome la transformación inversa de Z de la ecuación (5-15) y obtenga el cepstrum complejo de x(n) de la siguiente manera

Conceptos básicos del procesamiento de información geofísica

Cuando se habla del complejo cepstrum de x(n), si no se considera la influencia de zr, hay

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o

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En términos generales, cepstral tiene las siguientes propiedades.

Propiedad 1 Cuando x(n) es finito, el cepstrum complejo sigue siendo infinito. Sin embargo, la amplitud del complejo cepstrum decae al menos a una velocidad de 1/∣n|, lo que significa que su energía se concentra principalmente en el extremo inferior del tiempo.

Propiedad 2 La secuencia de fase mínima no tiene cero ni puntos cero fuera del círculo unitario, es decir, mo=0, po=0, por lo que su cepstrum complejo debe ser una secuencia causal, es decir, cuando x (n) es En la fase mínima, n < 0, es decir, el cepstrum complejo es cero en el eje negativo.

Propiedad 3: Cuando x(n) es la fase máxima, entonces n > 0, es decir, el cepstrum complejo es cero en el eje positivo.

Propiedad 4 Cuando x(n) es una fase mixta, su transformación z se puede descomponer en el producto de la fase mínima y la fase máxima, por lo que hay valores en los ejes de coordenadas positivos y negativos. .

Propiedad 5 El cepstral complejo de la señal discreta finita de valor real x(n) sigue siendo una señal de valor real. Hay un espectro logarítmico lnX(ejω), entonces ln∣X(ejω)∣. es una función par, ArgX (ejω) es una función impar.

Propiedad 6 El espectro logarítmico o cepstro complejo de la convolución de dos o más señales es igual a la suma de sus respectivos espectros logarítmicos o cepstros complejos.

Propiedad 7 El cepstrum complejo de una secuencia de pulsos δ(n) con intervalos Np sigue siendo una secuencia de pulsos con intervalos Np.

El cálculo del cepstrum complejo de la Propiedad 8 se puede realizar mediante la transformada z inversa o la transformada inversa de Fourier.