Diagrama de demostración del teorema de Pitágoras
Creo que demostrar este teorema es, por supuesto, muy importante, mucha gente lo ha estudiado, pero; Hay muchas pruebas, que son deslumbrantes al mismo tiempo y no reflejan el teorema en sí ni la importancia matemática. Por lo tanto, en este artículo, he seleccionado siete pruebas que creo que son importantes para que usted las analice y aprecie. características de estas pruebas y comprender sus antecedentes históricos
Probar uno
Figura 1
En la Figura 1, D ABC es un triángulo rectángulo, donde a es a. ángulo recto Dibujamos tres cuadrados ABfg, BCED y ACKH en los lados ab, BC y AC respectivamente. Trazamos una línea recta AL que pase por el punto A de modo que corte a L y BC. No es difícil demostrar que D FBC es. igual a D ABD (S.A.S). Entonces el área del cuadrado ABFG = 2? El área de FBC = 2? El área de = el área del rectángulo BMLD. cuadrado ACKH = el área del rectángulo MCEL Es decir, el área del cuadrado BCED es el área del cuadrado ACKH, lo que demuestra el teorema de Pitágoras /p>
Esta prueba utiliza inteligentemente la relación. entre el área de triángulos y triángulos congruentes y el área de rectángulos No solo eso, explica más específicamente el significado geométrico de "la suma de los cuadrados de dos lados de ángulo recto", que consiste en utilizar ML para convertir. un cuadrado dividido en dos partes: BMLD y MCEL!
Otro aspecto importante de esta prueba es su origen. Esta prueba proviene del antiguo matemático griego Euclides. 325 a. C. y murió en 265 a. C. Trabajó en Alejandría, el centro cultural de la antigua Grecia, y completó su libro "Elementos de geometría", que es una obra que hizo época. El primer volumen del libro, Proposición 47, registra el prueba anterior del teorema de Pitágoras
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Figura 2
En la Figura 2, colocamos cuatro triángulos rectángulos del mismo tamaño en un cuadrado grande. que la parte amarilla clara en el medio del cuadrado grande también es un cuadrado. La longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es C, y las longitudes de los otros dos lados son A y B. Entonces, dado que el área de a. El cuadrado grande debe ser igual a la suma de las áreas de los cuatro triángulos rectángulos y el cuadrado amarillo claro del medio, entonces tenemos
(a + b)2 = 4(1/2 ab) + c2
A2+2ab+b2 extendido = 2ab+c2
Simplificado a a2+ b2 = c2
De esto, sabemos que el teorema de Pitágoras es verdadero.
La prueba 2 puede considerarse una prueba muy sencilla. Lo más interesante es que si volteamos el triángulo rectángulo de la imagen y lo colocamos en la Figura 3 a continuación, aún podemos usar un método similar para demostrar el Teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
Figura 3
Cálculo del área Se puede obtener que C2 = 4(1/2 ab)+(b-a)2.
Extensión = 2ab+b2-2ab+a2
C2 simplificado = a2+b2 (demostración del teorema)
Otro significado importante de la Figura 3 es que, Esta ¡La prueba fue propuesta por primera vez por un chino! Según los registros, este es Zhao Shuang del estado de Wu durante el período de los Tres Reinos (alrededor del siglo III d.C.). Cuando Zhao Shuang estaba anotando el clásico "Computación paralela semanal", agregó una ilustración que llamó "diagrama cuadrado pitagórico" (o "diagrama de cadenas"), que es el diagrama de la Figura 3 anterior.
Evidencia 3
Figura 4
Figura 41 * *Dibuja dos triángulos rectángulos congruentes de color verde y un triángulo rectángulo isósceles de color amarillo claro. No es difícil ver que toda la imagen se convierte en un trapezoide. Usando la fórmula del área del trapezoide, obtenemos:
1/2(a+b)(b+a)= 2(1/2 ab)+1/2 C2
Después expansión 1/2 a2+a b+1/2 B2 = a b+1/2 C2.
Simplifica a2+b2 = c2 (demostración del teorema)
Hay algunos libros que elogian la prueba de treinta puntos, ¡porque esta prueba fue escrita por un presidente de Estados Unidos!
En 1881, Garfield (James A. Garfield; 1831-1881) fue elegido vigésimo presidente de los Estados Unidos. Lamentablemente, fue asesinado cinco meses después de su elección. En cuanto a la demostración del teorema de Pitágoras, la propuso en 1876.
Personalmente, no creo que la Prueba 3 tenga ninguna ventaja. En realidad, es lo mismo que la Prueba 2, ¡excepto que reduce el número en la Prueba 2 a la mitad! Es más, ¡no creo que la fórmula para el área de un trapezoide sea más simple que la fórmula para el área de un cuadrado!
Además, desde la perspectiva del profesor, tanto la Prueba II como la Prueba III tienen las mismas deficiencias, lo que significa que se debe alcanzar la identidad (A B) 2 = A2 2AB+B2. Aunque esta identidad se incluye comúnmente en el plan de estudios de la escuela secundaria, muchos estudiantes no logran comprenderla por completo.
Debido a que se utilizan las dos pruebas anteriores, los estudiantes a menudo no pueden comprenderlas ni seguirlas durante la enseñanza.
Evidencia 4
(a) (b) (c)
Figura 5
La prueba 4 se realiza de esta manera: como como se muestra en la figura Como se muestra en 5 (a), primero dibujamos un triángulo rectángulo y luego agregamos un cuadrado al lado del triángulo al lado del lado derecho más corto, que se muestra en rojo para mayor claridad. Agrega otro cuadrado debajo del otro lado en ángulo recto, representado en azul. Luego, dibuja un cuadrado usando la longitud de la hipotenusa, como se muestra en la Figura 5(b). Vamos a demostrar que la suma de las áreas de los cuadrados rojo y azul es exactamente igual al área del cuadrado dibujado sobre la hipotenusa.
Observe que en la Figura 5 (b), al sumar el cuadrado de la hipotenusa, algunas partes de los colores rojo y azul exceden el rango del cuadrado de la hipotenusa. Ahora voy a mostrar las partes fuera de rango en amarillo, morado y verde respectivamente. Al mismo tiempo, en el cuadrado de la hipotenusa, hay algunas partes que no están llenas de color. Ahora, mueva los triángulos fuera de rango al área vacía de acuerdo con el método de la Figura 5(c). ¡Descubrimos que la porción fuera de rango llenó exactamente los espacios vacíos! De esto, encontramos que la suma de las áreas de rojo y azul en la Figura 5 (a) debe ser igual al área del cuadrado de la hipotenusa en la Figura 5 (c). A partir de esto, confirmamos el teorema de Pitágoras.
Esta prueba fue propuesta por Liu Hui, un matemático de Wei durante el período de los Tres Reinos. En el cuarto año de Wei Jingyuan (263 d. C.), Liu Hui anotó el antiguo libro "Nueve capítulos de aritmética". En las notas, dibujó un diagrama similar a la Figura 5(b) para demostrar el teorema de Pitágoras. Porque usó "green out" y "zhu out" para representar las tres partes de amarillo, morado y verde, y "green in" y "zhu in" para explicar cómo llenar las partes en blanco del cuadrado de la hipotenusa. Más tarde, los matemáticos. Este tipo de diagrama se llama “verde dentro y fuera”. Algunas personas también utilizan la palabra "complementaria" para expresar el principio de esta prueba.
En la historia, Liu Hui no fue la única persona que utilizó el principio de "entrada y salida complementarias" para demostrar el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, han aparecido pruebas similares en la India, el mundo árabe e incluso en Europa, pero los dibujos que dibujaron pueden ser algo diferentes en apariencia a los de Liu Hui. La Figura 6 a continuación es una combinación de la Figura 5 (b) y la Figura 5 (c). Observe que he vuelto a dibujar un pequeño cuadrado fuera del triángulo. Consulte la Figura 6. ¿Hemos visto gráficos similares?
Figura 6
En realidad, ¿no es lo mismo la Figura 6 que la Figura 1? Simplemente pinta la Figura 1 desde otro ángulo. Por supuesto, los métodos para dividir a los partidos son diferentes.
Por cierto, existen diferencias obvias entre la prueba anterior y la prueba cuatro. No hay ninguna parte de cálculo en la Prueba 4, la prueba completa simplemente se obtiene moviendo algunos números. No sé si acepta estas "pruebas" sin ningún paso computacional, pero a mí me gustan estas "pruebas sin palabras".
Figura 7
Entre los muchos tipos de "pruebas sin palabras", dos me gustan más. La figura 7 es una de ellas. El método consiste en dividir una línea vertical y una línea horizontal, y dividir el cuadrado con un ángulo recto mayor en 4 puntos. Luego, complete los dos cuadrados rectángulos en el cuadrado de la hipotenusa de acuerdo con los colores en la Figura 7, y se podrá completar la demostración del teorema.
De hecho, hay muchas pruebas de "acertijos" similares, y no tengo intención de registrarlos todos aquí.
Otra "prueba sin palabras" puede considerarse la más ingeniosa y sencilla. El método es el siguiente:
Evidencia cinco
(a) (b).
Figura 8
La Figura 8 (a) es igual a la Figura 2, cuatro triángulos rectángulos están colocados en un cuadrado grande. Tenga en cuenta que el área de la parte amarilla clara en la imagen es igual a c2. Ahora movemos los cuatro triángulos rectángulos de la Figura 8 (a) a la Figura 8 (b). Obviamente, la suma de las áreas de los dos cuadrados de color amarillo claro en la Figura 8 (b) debe ser a2+b2. Pero como los cuadrados grandes en (a) y (b) son iguales y los cuatro triángulos rectángulos son iguales, entonces las áreas de las dos partes restantes de color amarillo claro también deben ser iguales, por lo que obtenemos a2+b2 = c2, lo que demuestra que Teorema de Pitágoras.
Existen muchas teorías sobre el origen de esta prueba: algunas personas dicen que proviene de un antiguo libro de matemáticas chino; otras piensan que Pitágoras hizo esta prueba, por lo que sacrificó cien vacas. Ven a celebrar. En resumen, creo que esta es la prueba más sencilla y rápida entre muchas.
No subestimes esta prueba. En realidad, contiene otra capa de significado, que no es fácil de percibir para todos. Ahora "extruyo" las dos imágenes anteriores en la Figura 9:
(a) (b)
Figura 9
La mitad de la Figura 9 (a) La parte amarilla clara es un paralelogramo y su área se puede encontrar mediante la siguiente fórmula: mn sin(a+b) donde myn son las longitudes de las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos. La parte amarilla clara en la Figura 9 (b) son dos rectángulos, y la suma de sus áreas es: (m cos a) (n sin b) + (m sin a) (n cos b).
Al igual que arriba, las áreas del amarillo claro de (a) y (b) son iguales, por lo que combinando las dos fórmulas y eliminando múltiplos de * * *, obtenemos: sin(a+b) = sin a cos b+sin b cos a, ¡esta es la fórmula de ángulo compuesto más importante en trigonometría! ¡Resulta que el teorema de Pitágoras y esta fórmula de ángulo compuesto provienen de la misma prueba!
En la segunda prueba, después de presentar el método de expandir (a+b)2, propuse el "diagrama de cuerdas" de Zhao Shuang, que es un método de expandir (a-b)2. La prueba 5 tiene una situación similar. Aquí tenemos una "prueba sin palabras" similar a (a+b), y una "prueba sin palabras" similar a (a-b). Este método fue desarrollado por el matemático indio Bhaskara (1114-1185), como se muestra en la Figura 10.
(a) (b)
Figura 10
Evidencia 6
Figura Xi
En la Figura 11 , usamos CD para dividir el triángulo rectángulo del medio ABC en dos partes, ¿dónde? c es un ángulo recto, D está por encima de AB y CD está por encima de AB. Sea a = CB, b = AC, c = AB, x = BD, y = AD. Note que los tres triángulos en la figura son muy similares entre sí, D DBC ~ D CBA ~ D DCA, entonces
= y =
Por lo tanto obtenemos a2 = cx, b2 = cy.
Combinando las dos fórmulas, obtenemos a2+b2 = cx+cy = c(x+y) = c2. Prueba del teorema.
Se puede decir que la prueba 6 es muy especial, porque es la única prueba en este artículo que no utiliza el concepto de área. Creo que en algunos libros de texto antiguos, la prueba 6 también se usaba como prueba del teorema de Pitágoras. Sin embargo, dado que esta prueba requiere el concepto de triángulos similares y los dos triángulos deben girarse una y otra vez, lo cual es bastante complicado, rara vez se usa en los libros de texto actuales y parece haber sido olvidado gradualmente por la gente.
Sin embargo, si lo piensas detenidamente, descubrirás que esta prueba en realidad no es diferente de la Prueba 1 (la prueba de Euclidiana). Aunque esta prueba no menciona el área, a2 = cx en realidad significa que el área del cuadrado en BC es igual al área del rectángulo formado por AB y BD, que es la parte amarilla en la Figura 1. Asimismo, b2 = cy es la parte verde oscuro en la Figura 1. Desde esta perspectiva, ¡los principios de ambas pruebas son los mismos!
Evidencia 7
(a) (b) (c)
Figura 12
En la Figura 12 (a), hacemos No conocemos la relación directa entre las áreas de tres cuadrados por el momento, pero como la razón de las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de sus lados correspondientes, y cualquier cuadrado es semejante, sabemos que el área I: área II: Área III = a2: b2: c2.
Pero si lo piensas detenidamente, encontrarás que el requisito de "cuadrado" en la inferencia anterior es redundante. De hecho, siempre que sean figuras similares, como el semicírculo de la Figura 12 (b) o la forma impar de la Figura 12 (c), siempre que sean similares entre sí, entonces área I: área II: área III es igual a a2: b2: c2!
Entre las muchas figuras similares, la más útil es el triángulo rectángulo que es similar al triángulo original.
(a) (b)
Figura 13
En la Figura 13 (a), dibujé tres Un triángulo rectángulo similar al triángulo del medio. Nota: La tercera parte es en realidad del mismo tamaño que el triángulo original, por lo que el área es igual si trazamos una línea vertical desde el vértice rectángulo del triángulo hasta la hipotenusa y dividimos el triángulo del medio en dos partes; encuentre que Figura XIII (a) El área I es exactamente igual al área del lado izquierdo del triángulo del medio, y el área II es exactamente igual al área del lado derecho. Puede verse en la Figura 13 (b) que área I + área II = área III. A su vez, ya que área I: área II: área III = a2: b2: c2, a2+b2 = c2.
Entre las siete pruebas, creo que ésta tiene el diseño más ingenioso y las técnicas matemáticas maravillosas. Desafortunadamente, para un estudiante de secundaria, esta prueba es difícil de dominar.
No estoy seguro de dónde viene esta evidencia. La primera vez que vi este certificado fue cuando estaba en la universidad. Un compañero me habló de él después de verlo en la biblioteca. Debido a que la impresión fue muy profunda, todavía hoy está fresca en mi memoria.
La proposición 31 del volumen 6 de "Elementos de geometría" de Euclides dice: "En un triángulo rectángulo, la figura dibujada en el lado rectángulo es igual a las dos figuras dibujadas en el lado rectángulo lado la suma de cifras que son similares a la figura anterior y tienen posiciones similares "Supongo que la persona que cree que la prueba del siete debería haberse referido a esta proposición.