Una breve respuesta a la historia de la ciencia y la tecnología

La vida de Arquímedes

Logros científicos de Arquímedes

La historia de Arquímedes

La influencia de Arquímedes en generaciones posteriores y su evaluación de él

Tumba de Arquímedes

Arquímedes (aproximadamente 287 ~ 212 a. C.) es un físico y matemático griego antiguo, fundador de la estática y la hidrostática.

[Editar este párrafo] Vida de Arquímedes

En el año 287 a.C., Arquímedes nació en Siracusa, Sicilia (la actual Siracusa, Italia). Nació en una familia noble y estaba relacionado con el rey Hennon de Siracusa. Su familia es muy rica. El padre de Arquímedes era astrónomo y matemático, conocedor y humilde. A la edad de once años, gracias a su relación con la familia real, lo enviaron a estudiar a Alejandría, el centro cultural de la antigua Grecia.

Alejandría, situada en la desembocadura del río Nilo, era uno de los centros de comercio cultural de aquella época. Aquí hay magníficos museos, bibliotecas y gente talentosa, y el mundo la conoce como la "Ciudad de la Sabiduría". Arquímedes estudió y vivió aquí durante muchos años y tuvo estrechos contactos con muchos eruditos. Durante sus estudios se interesó por las matemáticas, la mecánica y la astronomía. Mientras estudiaba astronomía, inventó un instrumento planetario impulsado por la conservación del agua y lo utilizó para simular los movimientos del sol, los planetas y la luna, y realizar eclipses de sol y luna. Para resolver el problema de irrigar la tierra con agua del Nilo, inventó un elevador de agua en espiral cilíndrico, que más tarde se llamó "espiral de Arquímedes".

En 240 a.C., Arquímedes regresó a Siracusa y se convirtió en asesor del rey Hernón, ayudándolo a resolver diversos problemas científicos y tecnológicos en la práctica de producción, la tecnología militar y la vida diaria.

En el año 212 a.C., el ejército romano capturó Siracusa, quien se concentraba en estudiar cuestiones científicas, pero lamentablemente fue asesinado por arrogantes soldados romanos a la edad de 75 años. El cuerpo de Arquímedes fue enterrado en Sicilia y en la lápida se grabó la imagen de un cilindro grabado con una bola para conmemorar sus destacadas contribuciones a la geometría.

[Editar este párrafo] Los logros científicos de Arquímedes

En el último período de la antigua Grecia apareció otro gran científico, Arquímedes.

Derivó correctamente las fórmulas para calcular el volumen y la superficie de esferas y cilindros, y propuso métodos para calcular el área encerrada por una parábola y el área de un arco.

El método más famoso consiste en encontrar el área encerrada por la espiral de Arquímedes (ρ = α×θ), que lleva el nombre de Arquímedes.

Resuelve la ecuación cúbica de una variable usando el método de la sección cónica y obtén la respuesta correcta.

Arquímedes fue también el fundador del cálculo. Al calcular los volúmenes de esferas, cilindros y sólidos más complejos, utilizó el método de aproximación por pasos para encontrar límites, sentando así las bases para los cálculos modernos.

Lo más interesante es el descubrimiento de Arquímedes sobre el volumen:

Una vez, Li Zhan, el hijo del vecino de Arquímedes, fue a jugar al pequeño patio de Arquímedes. Jenny es muy traviesa y una niña muy linda.

Zhan Li levantó su cara roja y dijo: "Tío Arquímedes, ¿puedo usar tus columnas como pilares de la iglesia?"

"Sí, dijo Arquímedes De".

Después de que el pequeño Zhanli erigiera el pilar, iba a agregarle una bola según el modelo del pilar frente a la iglesia. Encontró un cilindro, como su diámetro era exactamente igual al diámetro y la altura del cilindro, la bola cayó dentro del cilindro con un plop y no pudo salir.

Entonces, Li Zhan llamó a Arquímedes. Arquímedes vio esta situación y pensó: la altura y el diámetro del cilindro son iguales, y la superficie esférica recién incrustada no es la superficie inscrita del cilindro.

Pero ¿cómo determinamos la relación entre una esfera y un cilindro? En ese momento, Xiao Li Zhan trajo un recipiente con agua y dijo: "Lo siento, tío Arquímedes, déjame lavar la bola con agua. Esto la hará más limpia".

Los ojos de Arquímedes se iluminaron. abrazó al pequeño Zhanli y le dijo cariñosamente: "Gracias, pequeño Zhanli, ayudaste a resolver un gran problema".

Arquímedes vertió agua en el cilindro y metió la bola interior. Vuelve a sacar la bola; y mida el agua restante; luego llene el cilindro con agua y mida cuánta agua puede contener el cilindro.

Después de este repetido ensayo y error, descubrió un milagro asombroso: el volumen de la bola interior es exactamente igual a dos tercios de la capacidad del cilindro exterior.

Quedó extasiado al recordar este extraordinario descubrimiento: la relación entre un cilindro y su esfera inscrita, o la relación entre ambos, es de 3:2.

Estaba orgulloso de este extraordinario descubrimiento. Les dijo a las generaciones futuras que tallaran un patrón cilíndrico con una esfera como epitafio en su lápida.

La asombrosa inteligencia de Arquímedes atrajo la atención y la admiración de la gente. Sus amigos lo llaman "Alfa", que significa matemático de primer nivel (alfa-alfa, la primera letra del alfabeto griego).

Arquímedes merece el título de "Alfa". Por lo tanto, el historiador de las matemáticas del siglo XX E.T. Bell dijo: "Arquímedes debe incluirse en cualquier lista de los tres más grandes matemáticos de todos los tiempos".

"Los otros dos matemáticos suelen ser Newton y Gauss. Sin embargo, en comparación con sus grandes logros y su trasfondo de la época, en comparación con su profunda influencia en las generaciones contemporáneas y futuras, Arquímedes debería ser el primero en ser elogiado. ”

Decimos que el logro matemático de Arquímedes radica en que no solo heredó y llevó adelante el método científico de estudiar las matemáticas abstractas en la antigua Grecia, sino que también conectó la investigación y la aplicación práctica de las matemáticas, que tiene un Importancia única en la historia del desarrollo científico. De gran importancia y gran influencia en las generaciones posteriores.

Arquímedes es sin duda uno de los más grandes matemáticos y científicos producidos por la antigua civilización griega. campos le han granjeado la reputación de sus contemporáneos.

Mecánica: Arquímedes logró los logros más destacados en mecánica, demostró de forma sistemática y rigurosa la ley de las palancas y sentó las bases de la estática. Se estudió sistemáticamente el centro de gravedad de un objeto y el principio de palanca, y se propuso un método para determinar con precisión el centro de gravedad de un objeto, y se señaló que apoyarlo en el centro del objeto puede mantener el objeto equilibrado durante el estudio de la maquinaria. Descubrió la ley de la palanca y utilizó este principio para diseñar y construir muchas máquinas. En el proceso de estudiar los cuerpos flotantes, descubrió la ley de flotabilidad, que también se conoce como principio de Arquímedes.

Geometría: Archie Meade determinó las áreas de arcos parabólicos, espirales, círculos y métodos para calcular el área de superficie y el volumen de cuerpos geométricos complejos como elipsoides y paraboloides. , creó el "método exhaustivo", que hoy llamamos su método de acercarse gradualmente al límite, por lo que se reconoce como el creador de los cálculos. Calculó pi con mayor precisión aumentando el número de lados y acercándose a las áreas de los polígonos inscritos. polígonos circunscritos ante la engorrosa representación numérica de la antigua Grecia, Arquímedes también fue pionero en el método de memorizar grandes números, rompiendo la restricción de que las letras griegas no podían exceder de 10.000 en aquella época, y lo utilizó para resolver muchos problemas matemáticos. /p>

Astronomía: Arquímedes también tuvo logros sobresalientes en astronomía. Además de los instrumentos planetarios mencionados anteriormente, también creía que la Tierra era esférica y giraba alrededor del Sol, lo cual era 1.800 años antes que la "teoría heliocéntrica" ​​de Copérnico.

Escritos: Arquímedes tiene más de 10 obras matemáticas. transmitido de generación en generación. La mayoría de ellos son manuscritos griegos. Sus obras se centraron en los problemas de cuadratura, principalmente el área de los lados curvos y el volumen de los cubos curvos. Algunas definiciones y suposiciones están profundamente influenciadas. Luego demostró a su vez como matemático que escribió sobre esferas y cilindros, la medida de círculos, la cuadratura de parábolas, espirales, conos y esferas, y cálculos de arena. Ha escrito muchas obras mecánicas, como "Sobre la balanza de arena". Números", "Sobre cuerpos flotantes" y "Sobre palancas y principios".

Entre ellos, "Sobre bolas y columnas" es su obra maestra, que incluye muchas grandes obras. Logros. Partiendo de varias definiciones y axiomas. , derivó más de 50 proposiciones sobre el área y el volumen de esferas y cilindros, el equilibrio de figuras planas o su centro de gravedad, y demostró los principios de la mecánica utilizando métodos geométricos estrictos, basándose en varios supuestos básicos para encontrar el centro de gravedad. de varias figuras planas. El contador de arena ha diseñado un método que puede representar cualquier número grande, corrigiendo la idea errónea de algunas personas de que la arena es incontable y no puede representarse mediante símbolos aritméticos incluso si se puede contar. Sobre cuerpos flotantes se analiza la flotabilidad de los objetos y se estudia la estabilidad de proyectiles giratorios en fluidos. Arquímedes también planteó un "problema de rebaño" que involucraba ocho incógnitas. Finalmente se reduce a una ecuación cuadrática indefinida. La cantidad de soluciones es asombrosa: ¡más de 200.000 dígitos!

Además, también hay una obra muy importante, que es Una carta a Eratosthesia, que explora formas de resolver problemas mecánicos.

Se trata de un manuscrito en pergamino descubierto en Estambul en 1906 por el lingüista danés J.L. Heiberg. Escrito originalmente en griego, luego fue borrado y reescrito en términos religiosos. Afortunadamente, la escritura original no había sido borrada y, después de una cuidadosa identificación, se confirmó que era obra de Arquímedes. Algunos de ellos han sido vistos en otros lugares y se cree que otros han desaparecido en el pasado. Posteriormente se publicó internacionalmente con el nombre de Ley de Arquímedes. Habla principalmente de los métodos para encontrar problemas basados ​​en los principios de la mecánica. Consideró un área o volumen como algo con peso, lo dividió en muchas tiras o pedazos muy pequeños y luego usó el área o volumen conocido para equilibrar estos "elementos" y encontrar el centro de gravedad y el punto de apoyo, que se puede calcular usando el Ley de palanca. Encuentre el área o volumen requerido. Consideró este método como un trabajo tentativo antes de una prueba estricta y, después de obtener el resultado, tuvo que utilizar la reducción al absurdo para probarlo.

Énfasis en la práctica: Arquímedes es obviamente diferente de los científicos atenienses, es decir, no sólo valora el rigor y la precisión de la ciencia, sino que también exige pruebas lógicas precisas para cada pregunta; importancia para ello Aplicación práctica del conocimiento científico. Dio gran importancia a los experimentos y él mismo fabricó diversos instrumentos y maquinaria. Durante su vida diseñó y construyó numerosos mecanismos y máquinas. Además de los sistemas de palancas, cabe mencionar las poleas de levantamiento de pesas, las máquinas de riego, las bombas de agua y las catapultas militares. La bomba de agua conocida como "espiral de Arquímedes" todavía se utiliza en Egipto y otros lugares en la actualidad.

[Editar este párrafo] La historia de Arquímedes

“Dame un punto de apoyo y podré mover la tierra”.

Arquímedes no sólo es un teórico sino también un practicante. Combinó los dos con una pasión de toda la vida por aplicar sus descubrimientos científicos a la práctica. En Egipto, alrededor del año 1500 a. C., la gente usaba palancas para levantar objetos pesados, pero no sabían por qué. Arquímedes trabajó en este fenómeno y descubrió el principio de apalancamiento.

El rey Hennon siempre tuvo dudas sobre la teoría de Arquímedes. Pidió a Arquímedes que los convirtiera en ejemplos vivos para convencer a la gente. Arquímedes dijo: "Dame un punto de apoyo y podré mover la tierra". En la antigua Grecia, ¿Arquímedes sabía que la tierra era redonda? El rey dijo: "Me temo que esto no se puede hacer. Será mejor que me ayudes a remolcar el gran barco en la costa". En ese momento, el rey Hennon construyó un barco para el rey de Egipto. Era tan grande y pesado que estuvo muchos días varado en la costa porque no se podía mover. Arquímedes estuvo de acuerdo. Arquímedes diseñó un complejo sistema de palancas y poleas que instaló en el barco y le dio un extremo de la cuerda al rey Hernón. El rey Hennon tiró suavemente de la cuerda y ocurrió un milagro. El barco avanzó lentamente y finalmente se hundió en el mar. El rey quedó sorprendido y admiraba mucho a Arquímedes. Envió a alguien a publicar un aviso que decía: "De ahora en adelante, no importa lo que diga Arquímedes, debes creerle".

La historia del baño

Existe una hermosa leyenda sobre el principio de flotabilidad. Se dice que una vez Hieron II hizo una corona de oro, pero siempre sospechó que el orfebre le había robado el oro y había mezclado plata en la corona.

Así que pidió a Arquímedes que la identificara, con la condición de que la corona no sufriera daños. En aquella época la gente no sabía que diferentes sustancias tenían diferentes proporciones. Arquímedes pensó mucho durante muchos días, pero no encontró una buena solución. Un día fue a bañarse. Tan pronto como se metió en la tina llena de agua tibia, el agua se desbordó y sintió su cuerpo flotar ligeramente. Entonces de repente pensó que objetos del mismo peso desplazarían diferentes cantidades de agua debido a diferentes volúmenes... Dejó de bañarse, saltó de la bañera y corrió desnudo a casa desde la calle. Cuando su sirviente llegó a casa jadeando, Arquímedes ya estaba realizando experimentos; colocó la corona en una palangana llena de agua, midió el agua que rebosaba y colocó el mismo peso de oro puro en una palangana llena de agua. , pero se desbordó menos agua que antes, por lo que concluyó que el orfebre había mezclado plata en la corona. A partir de esto, descubrió el principio de flotabilidad y registró este principio en el famoso libro "Sobre los cuerpos flotantes". Esto es lo que hoy se conoce como el principio de Arquímedes.

Esto es lo que enseñaban los profesores de primaria y así lo recordamos. Arquímedes, conocido como "La Corona", descubrió el principio de flotabilidad. Pero no sabía cuál era el principio de flotabilidad hasta que estudié física en la escuela secundaria: un objeto sumergido en un líquido está sujeto a una fuerza de flotabilidad vertical, que es igual a la gravedad del líquido desplazado por el objeto.

En la historia de la corona, Arquímedes en realidad solo demostró una cosa, es decir, el volumen de agua hirviendo que descargan objetos del mismo material y del mismo peso es el mismo, pero no prueba que está sometido a La fuerza de flotación es igual al peso del agua hirviendo que desplaza.

¡Esta historia no puede explicar en absoluto el contenido del principio de Arquímedes!

De hecho, existe la siguiente historia. El rey decapitó al artesano y Arquímedes fue recompensado por el rey. Unos años más tarde, una anciana acudió a Arquímedes. ¡La anciana sacó una bola de oro y le pidió a Arquímedes que la ayudara a comprobar si otros habían robado la bola de oro que había hecho! Después de confirmar que no había diferencia entre la cantidad total original y la bola de oro, Arquímedes utilizó el método de drenaje anterior para medir el volumen. Se descubrió que, según la teoría de Arquímedes, ¡la bola de oro se rompió gravemente y se convirtió en otros componentes! Justo cuando Arquímedes anunció en público el resultado, la anciana se enojó tanto que partió la bola de oro en dos. Inesperadamente, ¡la bola dorada está hueca! Esta anciana es madre de un artesano. Decidida a demostrar la inocencia de su hijo, pasó varios años intentando demostrar que Arquímedes estaba equivocado. Como resultado, ella lo hizo. Arquímedes ignoró que muchos de los innumerables adornos de oro de la corona eran huecos, lo que condujo directamente a la estrechez del método de Arquímedes.

Arquímedes el Patriota

En los últimos años de Arquímedes, el ejército romano invadió Siracusa y ordenó a sus compatriotas que crearan muchas armas de combate para ataque y defensa. Cuando Marcelle Sai, el líder del ejército invasor, dirigió un grupo de personas para atacar la ciudad, diseñó una catapulta para destrozar al enemigo. La grúa con garras de hierro que construyó podía levantar y hacer retroceder los barcos enemigos...

Otra leyenda increíble es que llevó a los siracusanos a sostener espejos cóncavos para enfocar la luz del sol sobre los barcos de guerra de madera del ejército romano y prenderles fuego. lo. Los soldados romanos estaban tan asustados por ataques tan frecuentes que tenían miedo de todo. En cuanto vieron la cuerda o la madera arrojada desde la ciudad, exclamaron "Aquí viene Arquímedes" y corrieron.

El ejército romano se mantuvo fuera de la ciudad durante tres años. Finalmente, en el 212 a.C., los romanos aprovecharon la ligera laxitud en la defensa de la antigua ciudad de Siracusa y lanzaron un ataque masivo. En ese momento, Arquímedes, de 75 años, estaba estudiando un profundo problema matemático. Un soldado romano irrumpió y pisoteó su cuadro. Arquímedes discutió enojado con él. El soldado cruel e ignorante levantó su cuchillo y una brillante superestrella científica cayó.

Arquímedes descubrió la ley de la palanca

Hace dos mil ciento noventa años, apareció un gran físico en Siracusa, Sicilia, la antigua Grecia. Su nombre era Arquímedes (287-212 a.C.). Arquímedes estudió mucho durante toda su vida, se dedicó de todo corazón a la ciencia y fue leal a su patria. La gente lo respetaba y elogiaba. La historia del descubrimiento de la ley de las palancas por parte de Arquímedes continúa hasta el día de hoy.

La gente ha utilizado el apalancamiento desde la antigüedad y sabe cómo utilizarlo con habilidad. Cuando se construyeron las pirámides en Egipto, los esclavos usaban palancas para levantar las pesadas piedras. Los constructores navales utilizan palancas para levantar los mástiles de los barcos. La gente usa shaduf para sacar agua de los pozos, etc. Pero ¿por qué el apalancamiento hace esto?

Nadie podía explicar la ley de la palanca hasta que Arquímedes la descubrió. En ese momento, algunos filósofos insistieron en que era "mágico" cuando se trataba del tema. Sin embargo, Arquímedes negó que la "magia" fuera algo. Sabe que siempre existen razones naturales para explicar diversos fenómenos de la naturaleza. El apalancamiento también tenía una causa natural y estaba decidido a explicarla. Después de repetidas observaciones, experimentos y cálculos, Arquímedes finalmente estableció la ley del equilibrio de palancas. Es decir, "el brazo de momento es inversamente proporcional a la fuerza (peso)". En otras palabras, es: cuántas veces el peso pequeño es el peso grande y cuántas veces el brazo largo debe ser la longitud del corto. brazo. Después de que Arquímedes estableciera la ley de la palanca, concluyó que siempre que se pueda obtener la longitud adecuada de la palanca, cualquier objeto pesado se puede levantar con muy poca fuerza. Se dice que una vez dijo palabras tan heroicas: "Dame un punto de apoyo y podré levantar la tierra". Después de que el rey Siracusa se enteró, le dijo a Arquímedes: "Con Zeus (Zeus es uno de los dioses de la mitología griega). ) En nombre del rey, que controla el cielo, los truenos, los relámpagos y la lluvia, ¡lo que dijiste es realmente extraño, Arquímedes!" Después de que Arquímedes le explicó las características de la palanca al rey, el rey dijo: "¿Dónde puedo ¿Encontrar un punto de apoyo? ¿Levantar la tierra?"

"No existe tal punto de apoyo", respondió Arquímedes.

"Entonces, ¿es imposible hacer creer a la gente en el poder divino de la mecánica?", dijo el rey.

"No, no, no entendió bien, Su Majestad. Puedo darle otros ejemplos", dijo Arquímedes.

El rey dijo: "¡Eres demasiado jactancioso! ¿Qué tal si me ayudas a empujar una cosa tan pesada? ¿A ver qué dices?". En ese momento, el rey tenía un problema, que era construir un Barco muy grande para el Rey de Egipto. Después de que se construyó el barco, toda la ciudad de Siracusa se movilizó y fue imposible empujarlo al agua.

Arquímedes dijo: "Está bien, empujaré el barco por ti".

Después de que Arquímedes dejó al rey, diseñó y fabricó un conjunto de maquinaria exquisita utilizando los principios de palancas y poleas. Cuando todo estuvo listo, Arquímedes invitó al rey a observar el lanzamiento del barco. Le entregó el extremo de una cuerda gruesa al rey y le pidió que tirara suavemente. De repente, el gran barco se movió lentamente y se deslizó suavemente hacia el agua. Cuando el rey y los ministros vieron tal milagro, ¡quedaron asombrados como si estuvieran presenciando un truco de magia! Entonces el rey convenció a Arquímedes y emitió un aviso a todo el país: "De ahora en adelante, no importa lo que diga Arquímedes, debéis creerle..."

[Editar este párrafo] La influencia de Arquímedes Mead en el futuro generaciones y su evaluación de él.

Algunas personas dicen que la crueldad y la ignorancia arruinaron a Arquímedes. Se dice que el emperador romano se puso muy triste cuando supo que sus soldados habían matado a Arquímedes.

Arquímedes estudió con los alumnos de Euclides en Alejandría, el centro cultural de la época, y mantuvo estrecho contacto con los eruditos alejandrinos, por lo que fue miembro de la escuela alejandrina.

Arquímedes fue un gran matemático y mecánico, conocido como el "Padre de la Mecánica". La razón es que descubrió el principio de la palanca a través de una gran cantidad de experimentos y luego dedujo muchas proposiciones de palanca mediante derivación geométrica y dio pruebas estrictas. Entre ellos se encuentra el famoso Principio de Arquímedes, quien logró brillantes logros en matemáticas, especialmente en geometría. Sus ideas matemáticas incluían las ideas del cálculo. Lo que le faltaba era el concepto de límites, pero su esencia se extendía al campo del análisis infinitesimal, que maduraba en el siglo XVII y predecía el nacimiento del cálculo. Debido a sus destacadas contribuciones, el estadounidense E.T. Bell comentó sobre Arquímedes en "Mathematical Figures": Cualquier lista abierta de los tres más grandes matemáticos de la historia incluirá definitivamente a Arquímedes. Los otros dos suelen ser Newton y Gauss. Sin embargo, en comparación con sus brillantes logros y el trasfondo de la época, o en comparación con su profunda influencia en las generaciones contemporáneas y futuras, Arquímedes debería ser el primero en ser elogiado.

A excepción del gran Newton y el gran Einstein, nadie ha hecho una contribución tan grande al progreso de la humanidad como Arquímedes. Incluso Newton y Einstein extrajeron de él sabiduría e inspiración. Fue "la encarnación ideal de la combinación de genio teórico y genio experimental", y tanto Leonardo da Vinci como Galileo en el Renacimiento siguieron su ejemplo.

Las generaciones posteriores suelen equipararlo con Newton y Gauss como los tres mayores matemáticos de la historia. Arquímedes nació en el año 287 a. C. en Siracusa, Sicilia, en el extremo sur de la península italiana. Su padre es matemático y astrónomo. Arquímedes tuvo una buena educación familiar desde niño. A la edad de 11 años fue enviado a estudiar a Alejandría, el centro cultural de Grecia. En esta famosa ciudad conocida como la "Ciudad de la Sabiduría", Arquímedes Job coleccionó libros, aprendió muchos conocimientos y se convirtió en discípulo de los alumnos de Euclides, Erato Cese y Canon, estudiando geometría original.

Más tarde, Arquímedes se convirtió en un gran erudito, matemático y mecánico, y fue conocido como el "Padre de la Mecánica". La razón es que descubrió el principio de la palanca a través de una gran cantidad de experimentos y luego dedujo muchas proposiciones de palanca mediante derivación geométrica y dio pruebas estrictas. Entre ellos se encuentra el famoso principio de Arquímedes, que también logró brillantes logros en matemáticas. Aunque sólo existen una docena de obras de Arquímedes, la mayoría son obras geométricas, que jugaron un papel decisivo en el impulso del desarrollo de las matemáticas.

"Sand Computing" es un libro dedicado al estudio de los métodos y teorías de la computación. Arquímedes quería contar el número de granos de arena que había en una gran esfera que llenaba el universo. Usó una imaginación única para establecer un nuevo método de conteo de órdenes de magnitud, determinar nuevas unidades y proponer un modelo para representar números arbitrariamente grandes, que está estrechamente relacionado con las operaciones logarítmicas.

Para medir un círculo, use el círculo circunscrito y el círculo inscrito de 96 lados para obtener la relación pi: 22/7