Una comprensión sencilla de las series de Fourier
Es mejor dar una castaña y tener fotos y la verdad para entender.
Si dijera que puedo superponer una onda rectangular y la onda sinusoidal mencionada anteriormente para formar un ángulo de 90 grados, ¿lo creerías? No lo harás, como yo. Pero mira la siguiente imagen:
La primera imagen es una onda sinusoidal descendente cos(x)
La segunda imagen son dos hermosas ondas sinusoidales cos (x ) superpuestas de a.cos (3x).
La tercera imagen es la superposición de cuatro ondas sinusoidales elásticas.
La cuarta imagen es la superposición de 10 ondas sinusoidales de estreñimiento.
A medida que aumenta el número de ondas sinusoidales, eventualmente se superpondrán en un rectángulo estándar. ¿Qué aprendiste de esto? ¡Mientras trabajes duro, podrás doblarte derecho! )
A medida que aumenta la superposición, las partes ascendentes de todas las ondas sinusoidales aumentan gradualmente la pendiente de la curva que originalmente ascendía lentamente, mientras que las partes descendentes de todas las ondas sinusoidales compensan las partes que continúan aumentando cuando alcanzan el punto más alto. , haciendo que se convierta en una línea horizontal. Esto superpondrá un rectángulo. Pero, ¿cuántas ondas sinusoidales deben superponerse para formar una onda rectangular estándar de 90 grados? Lamentablemente, las respuestas son infinitas. Dios: ¿Puedo dejar que me adivines? )
No sólo rectángulos, cualquier forma de onda que se te ocurra se puede superponer con ondas sinusoidales de esta manera. Esta es la primera dificultad intuitiva para las personas que no han estado expuestas al análisis de Fourier, pero una vez que aceptas esta configuración, el juego se vuelve interesante.
O las ondas sinusoidales de la imagen de arriba se acumulan en una onda rectangular. Veámoslo desde otro ángulo:
En estas figuras, la línea negra del frente es la suma de todas las ondas sinusoidales, que se acerca cada vez más a una onda rectangular. Las ondas sinusoidales dispuestas en diferentes colores son los componentes básicos de las ondas rectangulares. Estas ondas sinusoidales están dispuestas de adelante hacia atrás en orden de baja a alta frecuencia, y cada onda tiene una amplitud diferente. Los lectores atentos deben haber descubierto que hay una línea recta entre cada dos ondas sinusoidales. ¡Esta no es una línea divisoria, sino una onda sinusoidal con una amplitud de 0! Es decir, algunas componentes sinusoidales no son necesarias para formar una curva particular.
Aquí, las ondas sinusoidales de diferentes frecuencias se convierten en componentes de frecuencia.
¡Pues aquí tienes la clave! !
Si consideramos el primer componente de frecuencia con la frecuencia más baja como "1", tenemos la unidad más básica para construir el dominio de frecuencia. Para nuestros ejes racionales más comunes, el número "1" es la unidad base del eje racional.
(Bueno, se llama -base en matemáticas. En ese momento, no había otras explicaciones extrañas para esta palabra, y había palabras como base ortogonal detrás de ella. ¿Puedo decirlo?)
La unidad básica del dominio del tiempo es "1" segundo. Si tomamos como base una onda sinusoidal COS (ω0t) con una frecuencia angular de ω 0, entonces la unidad básica del dominio de la frecuencia es ω0.
El mundo está compuesto por "1" y "0". ¿Qué es el "0" en el dominio de la frecuencia? ¡Cos(0t) es una onda sinusoidal de período infinito y una línea recta! Por lo tanto, en el dominio de la frecuencia, la frecuencia cero también se denomina componente CC. En la superposición de series de Fourier, solo afecta a toda la forma de onda hacia arriba o hacia abajo con respecto al eje numérico, sin cambiar la forma de la forma de onda.
A continuación, volvamos a la escuela secundaria y recordemos al muerto Bajie. Oh no, ¿cómo definió el maestro muerto una onda sinusoidal?
Una onda sinusoidal es la proyección de un movimiento circular sobre una línea recta. Por tanto, la unidad básica del dominio de la frecuencia también puede entenderse como un círculo que siempre está girando.
Después de presentar los componentes básicos del dominio de la frecuencia, podemos observar otra manifestación de la onda rectangular en el dominio de la frecuencia:
Así es como se ve la onda rectangular en el dominio de la frecuencia. dominio.
¿Estás completamente irreconocible? Los libros de texto suelen dar la información aquí y luego dejan a los lectores con ensoñaciones interminables y quejas interminables. De hecho, basta con agregar una imagen al libro de texto: la imagen en el dominio de la frecuencia, también llamada espectro, es——
Para ser claro:
Para ser honesto, cuando era Al estudiar la transformada de Fourier, esta imagen en Wiki aún no ha aparecido. Pensé en esta expresión en ese momento. Hay otro espectro que Wiki no expresa: el espectro de fase, que se agregará más adelante.
Pero antes de discutir el espectro de fases, revisemos las implicaciones de este ejemplo. ¿Recuerda el dicho “el mundo se detuvo” mencionado anteriormente? Supongo que mucha gente lleva mucho tiempo quejándose de esto. Imagine que cada apariencia aparentemente caótica del mundo es en realidad una curva irregular en el eje del tiempo, y estas curvas en realidad están compuestas por estas infinitas ondas sinusoidales. Lo que nos parece irregular es la proyección de una onda sinusoidal regular en el dominio del tiempo. Una onda sinusoidal es la proyección de un círculo giratorio en línea recta. Entonces, ¿qué imagen te viene a la mente?
El mundo ante nuestros ojos es como el gran telón de un espectáculo de sombras. Hay innumerables engranajes detrás de escena. El engranaje grande impulsa al engranaje pequeño y el engranaje pequeño impulsa al engranaje pequeño. En el piñón exterior hay una personita: somos nosotros mismos. Sólo vemos al hombrecito actuar de forma irregular frente al telón, pero no podemos predecir adónde irá a continuación. Pero los engranajes detrás de la cortina siguen girando y nunca se detienen. Sería un poco fatalista. Para ser honesto, un amigo mío lamentó esta descripción de la vida cuando ambos estábamos en la escuela secundaria. Pensé que esto era incomprensible en ese momento, hasta que un día aprendí las series de Fourier...
La palabra clave en el capítulo anterior es: desde el costado. Las palabras clave de este capítulo son las siguientes.
Al inicio de este capítulo quiero responder a una pregunta que mucha gente se hace: ¿Para qué se utiliza el análisis de Fourier? Esta sección es relativamente aburrida. Los estudiantes que ya la conocen pueden saltar directamente a la siguiente línea divisoria.
Permítanme hablarles del uso más directo. Ya sea escuchando la radio o viendo la televisión, debemos estar familiarizados con una palabra: canal. Canal Un canal es un canal de frecuencia. Diferentes canales utilizan diferentes frecuencias como canal para transmitir información. Intentemos una cosa:
Primero dibuja un pecado (x) en el papel. Puede que no sea estándar, pero el significado es similar. No es tan difícil. Bien, dibujemos una gráfica de sin(3x) sin(5x). No digas que los estándares no son estándar. No necesariamente se dibuja una curva cuando sube o baja, ¿verdad?
Bueno, no importa si no puedes dibujarlo. Te daré la curva de sen(3x) sen(5x), pero sólo si no conoces la ecuación de esta curva. Ahora necesito que elimines sin(5x) de la imagen y veas lo que queda. Esto es básicamente imposible. Pero ¿qué pasa en el dominio de la frecuencia? Es muy sencillo, sólo unas pocas líneas verticales.
Por tanto, muchas operaciones matemáticas que parecen imposibles en el dominio del tiempo pueden revertirse fácilmente en el dominio de la frecuencia. Aquí es donde se necesita la Transformada de Fourier. En particular, eliminar ciertos componentes de frecuencia de una curva, lo que en ingeniería se llama filtrado, es uno de los conceptos más importantes en el procesamiento de señales y sólo se puede lograr fácilmente en el dominio de la frecuencia.
Hablemos de un uso más importante, pero un poco más complicado: resolver ecuaciones diferenciales. No necesito introducir demasiado la importancia de las ecuaciones diferenciales. Se utiliza en todos los ámbitos de la vida. Pero resolver ecuaciones diferenciales es algo problemático. Porque además de calcular sumas, restas, multiplicaciones y divisiones, también necesitamos calcular cálculo diferencial e integral. La transformada de Fourier puede convertir diferenciales e integrales en multiplicación y división en el dominio de la frecuencia, y las matemáticas universitarias pueden convertirse instantáneamente en aritmética de escuela primaria.
Por supuesto, el análisis de Fourier tiene otros usos más importantes, que mencionaremos cuando hablemos.
Continuemos discutiendo el espectro de fase:
Al transformar del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia, obtenemos un espectro lateral, pero este espectro no contiene todos los información en el dominio del tiempo. Debido a que el espectro solo representa la amplitud de cada onda sinusoidal correspondiente, no se menciona la fase. En la onda sinusoidal básica A.sin(wt θ), la amplitud, la frecuencia y la fase son indispensables, y diferentes fases determinan la posición de la onda. Entonces, para el análisis en el dominio de la frecuencia, solo el espectro (espectro de amplitud) no es suficiente, necesitamos un espectro de fase.
Entonces, ¿dónde está este espectro de fases? Miremos la imagen de abajo. Esta vez, para evitar que la imagen sea demasiado confusa, utilizamos una imagen superpuesta de siete ondas.
Dado que la onda sinusoidal es periódica, necesitamos configurar algo para marcar la posición de la onda sinusoidal. Los de la foto son los puntitos rojos. El pequeño punto rojo es el pico más cercano al eje de frecuencia. ¿A qué distancia está este pico del eje de frecuencia? Para verlo más claro, proyectamos el punto rojo en el plano inferior, y el punto proyectado queda representado por un punto rosa. Por supuesto, estos puntos rosas sólo representan la distancia desde el pico hasta el eje de frecuencia, no la fase.
En el estereograma completo, dividimos la diferencia de tiempo proyectada por el periodo de la frecuencia a su vez para obtener el espectro de fase más bajo. Entonces, mire el espectro desde un lado y el espectro de fase desde abajo. La próxima vez que te pillen mirando por debajo de la falda de una chica, puedes decirle: "Lo siento, sólo quiero ver tu espectro de fases".
Ten en cuenta que todas las fases del espectro de fases son π excepto 0. Debido a que cos(t Pi)=-cos(t), la onda con fase Pi en realidad simplemente gira hacia arriba y hacia abajo. Para la serie de Fourier de una onda cuadrada periódica, dicho espectro de fase es muy simple. Además, vale la pena señalar que debido a que cos (t 2Pi) = cos (t), la diferencia de fase es periódica y Pi es lo mismo que 3pi, 5pi y 7pi. El rango definido artificialmente del espectro de fase es (-π, π), por lo que las diferencias de fase en la figura son todas π.
Finalmente, un gran conjunto:
La transformada de Fourier es en realidad la transformada de Fourier de una función periódica infinita.
Así que la partitura de piano no es en realidad una partitura continua, sino muchas frecuencias discretas en el tiempo, pero es realmente difícil encontrar una segunda metáfora tan adecuada.
Así, la transformada de Fourier cambia de un espectro discreto a un espectro continuo en el dominio de la frecuencia. Entonces, ¿cómo es un espectro continuo?
¿Has visto alguna vez el mar?
Para facilitar la comparación, veamos el espectro desde otro ángulo, o el diagrama de la serie de Fourier más utilizado. Veámoslo desde la dirección de mayor frecuencia.
Lo anterior es un espectro discreto, entonces, ¿cómo se ve un espectro continuo?
Usa tu imaginación e imagina estas ondas sinusoidales discretas acercándose cada vez más, volviéndose gradualmente continuas...
Hasta que se convierta en un mar embravecido:
Lo siento Para poder ver estas ondas con mayor claridad, no elegí los parámetros de cálculo correctos, sino que elegí algunos parámetros para hacer la imagen más hermosa; de lo contrario, la imagen se vería como una mierda.
Pero comparando estas dos imágenes, deberías poder entender cómo cambiar de un espectro discreto a un espectro continuo, ¿verdad? La superposición de espectros discretos se convierte en la suma de espectros continuos. Entonces el cálculo cambia del signo de suma al signo de integral.
Sin embargo, la historia aún no ha terminado. A continuación prometo mostraros una imagen más bella y espectacular que la de arriba, pero aquí es necesario introducir una herramienta matemática para continuar la historia. Esta herramienta es:
A todos nos conmovió el concepto de números imaginarios cuando estaba en la escuela secundaria, pero en ese momento solo sabíamos que era la raíz cuadrada de -1, pero ¿cuál es su verdadero significado? ?
Aquí hay un eje numérico con un segmento de línea roja en el eje numérico. Su longitud es 1. Cuando se multiplica por 3, su longitud cambia y se convierte en un segmento de línea azul, y cuando se multiplica por -1, se convierte en un segmento de línea verde, o el segmento de línea se gira 180 grados alrededor del origen en el eje numérico.
Sabemos que multiplicar por -1 es en realidad multiplicar por I dos veces para rotar el segmento de línea 180 grados, y multiplicar por I una vez (la respuesta es simple) rotar 90 grados.
Al mismo tiempo, obtenemos un eje imaginario vertical. El eje real y el eje imaginario * * * son isomorfos para formar el plano complejo, también llamado plano complejo. De esta manera sabemos que una función se multiplica por un número imaginario I-rotación.
Ahora, la primera fórmula del universo, la fórmula de Euler, está aquí para hacer su gran aparición——
La importancia de esta fórmula en el campo de las matemáticas es mucho mayor que eso. del análisis de Fourier, pero debido a su forma especial—— Cuando x es igual a π, es la primera fórmula del universo.
Para mostrar sus habilidades académicas, los estudiantes de ciencias e ingeniería suelen utilizar esta fórmula para explicar la belleza de las matemáticas a sus hijas: "Mira, hermana Granada, esta fórmula contiene el número natural en base E, el los números naturales 1 y 0, y el número imaginario I. y pi.
¡Es tan simple y hermoso! "Pero las chicas a menudo sólo tienen una frase en mente: "Perdedor maloliente..."
La función clave de esta fórmula es unificar la onda sinusoidal en una forma exponencial simple. Veamos el significado. de la imagen:
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La fórmula de Euler describe que un punto hace un movimiento circular con el tiempo en el plano complejo y se convierte en una espiral con el tiempo en el eje del tiempo si solo nos fijamos en su parte real. , que es la proyección de la espiral izquierda, es la función coseno más básica. La proyección de la derecha es la función seno.
Para una comprensión profunda de los números complejos, consulte:
¿Cuál es el significado físico de los números complejos?
No es necesario complicarse mucho aquí, basta con que todos comprendan el siguiente contenido.
Con la ayuda de la fórmula de Euler, sabemos que la superposición de ondas sinusoidales también puede entenderse como la proyección de la superposición de espirales en el espacio real. Para entender la imagen de una castaña, ¿qué es la superposición de espirales? p>Ondas de luz
Aprendimos en la escuela secundaria que la luz natural se compone de luz de diferentes colores. El experimento más famoso es el de Newton:
Así que en realidad lo hemos hecho. Hemos estado expuestos al espectro de luz desde muy temprano, pero no entendemos el significado más importante del espectro.
Pero la diferencia es que después de la transformada de Fourier el espectro no es solo una superposición de luz visible. en un rango de frecuencia limitado, sino una combinación de todas las frecuencias desde 0 hasta el infinito.
Aquí podemos entender las ondas sinusoidales de dos maneras:
La primera, ya mencionada antes, es. la proyección de la espiral sobre el eje real
La otra debe entenderse a través de otra forma de la fórmula de Euler:
Suma las dos fórmulas anteriores y divide por 2 para obtener:
¿Cómo entender esta fórmula?
Acabamos de decir que e^(it) puede entenderse como una espiral en sentido antihorario, entonces E (-it) puede entenderse como una espiral en el sentido de las agujas del reloj. Cos (t) es la mitad de la superposición de estas dos espirales con diferentes direcciones, porque las partes imaginarias de estas dos espirales se cancelan entre sí. >
Por ejemplo, para dos ondas de luz con diferentes direcciones de polarización, el campo magnético se cancela y el campo eléctrico se duplica.
Aquí llamamos a la rotación en sentido antihorario una frecuencia positiva y a la rotación en el sentido de las agujas del reloj una frecuencia negativa (tenga en cuenta que no es una frecuencia compleja). el océano: un espectro continuo de transformada de Fourier. Ahora piensa en cómo se vería una espiral continua:
Imagínate el rechazo otra vez:
¿No es hermoso? >¿Puedes adivinar cómo se ve esta imagen en el dominio del tiempo?
Jaja, ¿te sientes como si te estuvieran abofeteando? Las cosas hacen que los problemas simples se vuelvan muy complicados. Por cierto, por conveniencia, solo muestro la parte de frecuencia positiva y no la parte de frecuencia negativa.
Si miras con atención, cada espiral en el diagrama de concha se puede ver claramente. una amplitud (radio de rotación), frecuencia (período de rotación) y fase diferentes que conectan todas las espirales en una sola. El plano es este diagrama de concha.
Bien, ahora que he hablado de eso, creo que todos tienen una comprensión vívida de la transformada de Fourier y las series de Fourier. Finalmente, use una imagen para resumir:
Bien, la historia de Fourier finalmente ha terminado. Déjame contarte mi historia:
Nunca adivinarás dónde se desinstaló este artículo por primera vez. Estaba en un trabajo de matemáticas avanzadas. En ese momento, para mejorar mi puntaje, volví a tomar la prueba de Matemáticas Avanzadas (Volumen 1), sin embargo, por falta de tiempo, no repasé nada, así que fui a la sala de examen con la mentalidad de tomar el examen. desnudo. Pero cuando llegué a la sala de examen, de repente me di cuenta de que definitivamente no lo haría mejor que la última vez, así que simplemente escribí algunas ideas sobre matemáticas. Así que pasé aproximadamente una hora escribiendo el primer borrador de este artículo en el examen.
¿Cuánto crees que marqué?
6 puntos
Sí, ese es el número. El resultado de estos 6 puntos fue porque al final me aburrí mucho y completé todas las preguntas de opción múltiple con c. Debería haber ganado dos, pero obtuve estos preciosos 6 puntos. Para ser honesto, realmente desearía que el papel todavía estuviera allí, pero probablemente no sea posible.
¿Adivina qué puntuación obtuve en el primer examen de señal y sistema?
45 puntos
Sí, lo justo para un examen de recuperación. Pero reprobé el examen y decidí volver a realizarlo. Como estuve ocupado con otras cosas ese semestre, realmente me olvidé de estudiar. Pero sabía que era una lección importante y que la entendería completamente sin importar nada. Para ser honesto, el curso "Señales y Sistemas" es la base de casi todas las carreras de ingeniería, especialmente las de comunicaciones.
Durante el proceso de reconstrucción, analicé cuidadosamente cada fórmula y traté de darle una comprensión intuitiva. Aunque sé que para las personas que estudian matemáticas, este método de aprendizaje es completamente inútil, porque a medida que los conceptos se vuelven cada vez más abstractos y las dimensiones se vuelven cada vez más altas, este método de comprensión de imágenes o modelos perderá por completo su efecto. Pero para un estudiante de ingeniería es suficiente.
Más tarde vine a Alemania y cuando la escuela de aquí me pidió que reconstruyera señales y sistemas, me quedé completamente sin palabras. Pero no puedo evitarlo. Los alemanes a veces menosprecian a los chinos y piensan que su educación no es confiable. Entonces no hay manera. Hagámoslo de nuevo.
Esta vez obtuve la máxima puntuación, pero la tasa de aprobación fue solo la mitad.
Para ser honesto, las herramientas matemáticas tienen significados completamente diferentes para los estudiantes de ingeniería y los estudiantes de ciencias. Es suficiente que los estudiantes de ingeniería lo comprendan, lo utilicen y lo comprueben. Sin embargo, muchos colegios y universidades imparten estos importantes cursos de matemáticas a los profesores del departamento de matemáticas. Entonces hay un problema. El profesor de matemáticas habla de todo, dándole sentido y demostrando, pero los alumnos solo tienen una frase en mente: ¿De qué sirve aprender este producto?
La educación sin objetivos es un completo fracaso.
Al comenzar a aprender una herramienta matemática, los estudiantes no tienen idea de la función y el significado práctico de la herramienta. El libro de texto solo contiene conceptos oscuros, una veintena de palabras de atributos y fórmulas que marean a la gente. ¡Mi interés por aprender es muy extraño!
Afortunadamente, conocí al profesor Wu Nan de la Universidad Marítima de Dalian. Hay dos pistas a lo largo de su recorrido, una es de arriba hacia abajo y la otra es de abajo hacia arriba. Primero explique la importancia de este curso y luego señale qué tipo de problemas encontrará, para que los estudiantes puedan conocer el papel de algunos de los conocimientos que han aprendido en la realidad. Luego comience desde lo básico y revise el árbol de conocimientos hasta que las preguntas formuladas en otra pista se conecten perfectamente.
Creo que este modelo de enseñanza debería aparecer en las universidades.
Por último, me gustaría escribir una carta y dejar un mensaje a todos los compañeros que les agrado. Realmente aprecio el apoyo de todos y lamento no poder responderles a todos. Porque los mensajes en la columna Zhihu deben cargarse uno por uno y deben cargarse muchas veces antes de poder ver el último punto. Por supuesto, insistí en leerlo, pero no pude responderles a todos.
Este artículo solo presenta un nuevo método de comprensión del análisis de Fourier. Para aprender, aún necesita descubrir las fórmulas y conceptos con los pies en la tierra. Realmente no hay atajos para aprender. Pero al menos con este artículo espero hacer un poco más interesante este largo viaje.
Finalmente, deseo que todos puedan divertirse aprendiendo...