Cómo encontrar el centro de gravedad de un triángulo

El centro de gravedad de un triángulo es el punto de intersección de las líneas centrales de los tres lados del triángulo.

Según la naturaleza del centro de gravedad, las líneas centrales de los tres lados deben cruzarse en un punto.

Entonces, si dibujas la línea media de dos lados cualesquiera de un triángulo, su intersección es el centro de gravedad del triángulo.

1. La relación entre la distancia del centro de gravedad al vértice y la distancia del centro de gravedad al punto medio del lado opuesto es 2:1.

Prueba 1

En el triángulo ABC, E y F son los puntos medios de AB y AC. EC y FB se entregan a G.

Demostración: Pase E para hacer que EH sea paralelo a BF.

∵AE=BE y EH//BF

∴AH=HF=1/2AF (teorema de la línea mediana)

Y ∵ AF=CF< / p>

∴HF=1/2CF

∴EG=1/2CG (⊿CFG∽⊿CHE)

2 compuesto por el centro de gravedad y los tres. vértices del triángulo Las áreas de los triángulos son iguales.

Prueba 2

Método de prueba:

En △ABC, los tres lados son a, b, c, el punto O es el centro de gravedad del triángulo. , AOA1, BOB1 y COC1 son las líneas medias en los lados a, byc respectivamente. Según las propiedades del centro de gravedad, OA1=1/3AA1, OB1=1/3BB1, OC1=1/3CC1 pasa por O y. A es la altura H1 en el lado a, y H se puede conocer como OH1=1/3AH, entonces, S(△BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(△ABC); de manera similar se puede demostrar que S(△AOC)=1/3S(△ ABC), S(△AOB)=1/3S(△ABC) Por lo tanto, S(△BOC)=S(△AOC)=S(△ AOB)

3. Desde el centro de gravedad hasta los tres vértices del triángulo La suma de las distancias al cuadrado es la más pequeña. (Triángulo equilátero)

Método de demostración:

Supongamos que los tres vértices del triángulo son (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) y cualquier punto en el plano es (x, y) Entonces la suma de las distancias al cuadrado desde el punto hasta los tres vértices es: (x1-x)^2 (y1-y)^2 (x2-x)^2 (y2-y) ^2 (x3-x)^ 2 (y3-y)^2

=3x^2-2x(x1 x2 x3) 3y^2-2y(y1 y2 y3) x1^2 x2^2 x3^2 ​​y1^2 y2^ 2 y3^2

=3(x-1/3*(x1 x2 x3))^2 3(y-1/3(y1 y2 y3) )^2 x1^2 x2^2 x3 ^2 y1^2 y2^2 y3^2-1/3(x1 x2 x3)^2-1/3(y1 y2 y3)^2

Obviamente cuando x=(x1 x2 x3)/ 3. Cuando y=(y1 y2 y3)/3 (coordenadas del centro de gravedad)

La fórmula anterior obtiene el valor mínimo x1^2 x2^2 x3^ 2 ​​y1^2 y2^2 y3^2-1/3 (x1 x2 x3)^2-1/3(y1 y2 y3)^2

Finalmente llegue a la conclusión.

4. En el sistema de coordenadas cartesiano plano, la coordenada del centro de gravedad es la media aritmética de las coordenadas del vértice,

Es decir, sus coordenadas son ((X1 X2 X3). )/3, (Y1 Y2 Y3)/3);

Sistema de coordenadas espaciales rectangulares - abscisas: (X1 X2 X3)/3 ordenadas: (Y1 Y2 Y3)/3 coordenadas verticales: (z1 z2 z3 )/3

5. El punto dentro del triángulo que tiene el mayor producto de las distancias a los tres lados.

6. En △ABC, si vector MA vector MB vector MC = 0 (vector), entonces el punto M es el centro de gravedad de △ABC, y viceversa.

7. Supongamos que el centro de gravedad de △ABC es el punto G, y hay un punto O en el plano, entonces el vector OG=1/3 (vector OA, vector OB, vector OC)

8. Triángulos altos idénticos La razón de área es la razón de las bases, y la razón de área de triángulos con la misma base es la razón de las alturas.

Método de demostración:

∵D es el punto medio de BC,

∴BD=CD,

y ∵h△ABD= h △ACD, h△BOD=h△COD,

∴S△ABD=S△ACD, S△BOD=S△COD,

Es decir, S△AOF S △BOF S △BOD=S△AOE S△COE S△COD, S△BOD=S△COD,

∴S△AOF S△BOF=S△AOE S△COE.

De la misma manera,

∵E es el punto medio de AC,

∴S△AOF S△BOF=S△BOD S△COD.

∴S△AOE S△COE=S△BOD S△COD.

También ∵S△BOF/S△BOD S△COD=OF/OC, S△AOF/S△AOE S△ COE,

Es decir, S△BOF=S△AOF.

∴BF=AF,

∴CF es la línea media del lado AB,

Es decir, las tres líneas medias del triángulo se cruzan en un punto.