Contribuciones académicas de Zhang Zhifen
Acerca del número de ciclos límite de la ecuación de Liner
1 Acerca de la unicidad del ciclo límite de la ecuación de Liner
La pregunta sobre la unicidad de. el ciclo límite es mejor que Las cuestiones existenciales son más difíciles No fue hasta las décadas de 1940 y 1950 que aparecieron trabajos de N. Levinson, G. Sansone, R. Conti, J.I. Massera y otros. los obtenidos se suman a la simetría de la función g(x), f(x) o F(x) o a la simetría de sus puntos cero. En 1957, Zhang Zhifen señaló por primera vez en su tesis doctoral que la concavidad y convexidad de la función de amortiguación es una propiedad más esencial que afecta la unicidad del ciclo límite. De hecho, la forma de estrella de f (x) puede. Garantizar la unicidad. En artículos publicados en 1958 y 1986, demostró que para sistemas Liner generalizados en condiciones normales, si la función derivada es (0, +
∞)), entonces el ciclo límite de (4) únicamente. Este resultado ha sido ampliamente citado por colegas nacionales y extranjeros. Por ejemplo, consulte "Curvas integrales definidas por ecuaciones diferenciales" de Qin Yuanxun (volumen 2) (1959), "Teoría del anillo límite" de Ye Yanqian (1984), libro de Sansone y Conte "Ecuaciones diferenciales no lineales" ("Ecuaciones diferenciales no lineales" ) (1964), el libro de L. Perko "Ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos" (1993). Muchos de los problemas de unicidad de los ciclos límite en campos como los sistemas polinomiales cuadráticos y la biomatemática se prueban utilizando este teorema de unicidad. En 1982, el estudiante y colega de Zhang Zhifen, Zeng Xianwu, realizó avances esenciales en el teorema de unicidad del sistema (1). Bajo las limitaciones de simetría y convexidad de la función de amortiguación, utilizó métodos de estimación por partes y compensación mutua para la integral de divergencia. Se hizo una estimación precisa. Luego, Zhang Zhifen, Zeng Xianwu y Gao Suzhi ampliaron este resultado del sistema (1) al sistema (4). Resumieron los resultados relevantes de los últimos 20 a 30 años y, después de una investigación en profundidad, publicaron un artículo: "Sobre la unicidad del ciclo límite de la ecuación de Lienard generalizada". citas en el artículo El teorema revela las características más esenciales de la integral de divergencia de la ecuación (4). El corolario detrás de cada teorema señala los puntos clave del teorema y cómo aplicarlo. Muchas de las unicidades existentes son casos especiales del. corolario de este artículo.
2. Sobre la unicidad del ciclo límite de una clase de ecuaciones de Liner amortiguadas periódicamente
Zhang Zhifen demostró por primera vez la ecuación en 1980
Para todos μ≠ 0, es una conjetura de larga data que hay exactamente n ciclos límite en la banda ||≤(n+1)π del espacio de fase (x,) (n=0, 1, 2,...). Este resultado ha atraído la atención de colegas nacionales y extranjeros. No sólo porque es una conjetura sin resolver desde hace muchos años, sino también porque está relacionada con el problema número 16 de Hilbert. Se sabe que el sistema analítico tiene un número limitado de ciclos límite en la región acotada. La ecuación (5) es un sistema analítico, pero tiene ciclos límite infinitos densamente empaquetados en el infinito. Utiliza ejemplos para revelar que la analiticidad solo puede garantizar la finitud local del número de ciclos límite, pero no puede garantizar la finitud global. el límite del sistema polinomial. El número de anillos está limitado en todo el plano.
Acerca de los sistemas dinámicos topológicos
1. Conjuntos mínimos no homogéneos
Los conjuntos mínimos casi periódicos definidos en el espacio métrico completo son grupos topológicos compactos, la operación del grupo se puede extender uniformemente hasta el cierre, por lo que es homogéneo, es decir, la dimensión de cada punto es la misma. El sistema dinámico discreto definido por E.E. Floyd en el subconjunto cerrado del cuadrado de R2 no es homogéneo y tiene puntos de 0 y 1 dimensión. Un sistema dinámico discreto definido por Zhang Zhifen en un subconjunto cerrado de un cuadrado n-dimensional, que tiene 0, 1,..., n-1 puntos dimensionales. De esta forma, se puede definir un conjunto mínimo compacto no homogéneo de n dimensiones, que tiene y solo tiene 0, k1, k2,...,kj puntos dimensionales, donde 0≤k1≤k2≤...≤kj≤ n-1. Esto muestra la diferencia entre conjuntos mínimos casi periódicos y conjuntos mínimos. GD Birkhoff conjeturó que los conjuntos mínimos definidos en variedades n-dimensionales son todos homogéneos.
A. Markov demostró que esta conjetura es correcta para conjuntos mínimos de flujos continuos de dimensión finita.
2. Antonie Necklace
En la década de 1950, W.H. Gottschalk propuso si era posible definir una topología con Antonie Necklace A como un sistema mínimo. En un artículo publicado en Science in China en 1982, Zhang Zhifen definió el mapeo topológico Φ de R3 a sí mismo, haciendo de A un conjunto invariante completo, compacto y completamente desconectado de (R3, Φ) (que es consistente con el conjunto de Cantor (Cantor) es equivalente ), y R3/A no es simplemente conexo (de ahí el nombre del collar), A es exactamente el conjunto mínimo del sistema dinámico discreto (R3, Φ), respondiendo así por primera vez a la respuesta afirmativa de Ge a la pregunta de Teschalk. Además, A también es un conjunto mínimo casi periódico de (R3, Φ), por lo que es homogéneo y la dimensión de cada punto es 0. Por lo tanto, A no es sólo un grupo topológico compacto, sino también un grupo topológico simple, que es decir, tiene un subgrupo cíclico denso de. La dinámica de A es extremadamente simple, pero la geometría de A no es simple. Obviamente, A no es una unión de variedades finitas.
Acerca de la teoría de la bifurcación de campos vectoriales
Zhang Zhifen ha estado preocupado por la teoría de la bifurcación de campos vectoriales desde la década de 1980, principalmente por el problema de bifurcación de los campos vectoriales hamiltonianos, es decir, la sistema (2) El problema del número de ciclo límite también se denomina problema 16 de Hilbert débil.
Supongamos que H=h0 y H=h1 corresponden respectivamente al punto singular y a la órbita cerrada singular del campo vectorial hamiltoniano dH=0. Sea la órbita cerrada Гh una rama compacta de H-1(h) (h0 △Pε=△Pε(h)-h=εM1+o(ε) Es la integral abeliana, también conocida como función de Melnikov de primer orden. La condición necesaria y suficiente para la órbita cerrada del sistema perturbado (2) es que la función de desplazamiento ΔPε=0, M1 (h) sea la aproximación de primer orden de la función de desplazamiento a ε, por lo que está en (h0, h1) en el número de puntos cero aislados (veces ponderados) N (m, n) está estrechamente relacionado con el número de ciclos límite del sistema (2), donde degH=m+1, max( gradosP, gradosQ)=n. 1. Para m=n=2, proporcione una estimación precisa de N(m, n) Cuando m=2, dH=0*** existen 5 métodos generales. Hay situaciones y 8 situaciones inexistentes. Se ha demostrado que N(2,2)=2 o 3. Entre ellos, I.D. Iliev, Li Chengzhi, Zhao Yulin y otros resolvieron 8 casos no comunes. Una de las cinco situaciones comunes la resuelven Zhang Zhifen y Li Chengzhi. Recientemente, Li Chengzhi y su alumno Chen Fengde dieron una prueba unificada de cinco situaciones universales en el dominio real. 2. Acerca de la generalización del teorema de Pontryagin En 1934, Pontryagin demostró que cuando el lado derecho del sistema (2) es suficientemente suave, M1 (h* )=0. M(h*)≠0, entonces el sistema (2) tiene un ciclo límite único Lh. Depende continuamente de ε, Lh → Гh*, cuando ε → 0 y Lh es estable (inestable), cuando εM1 (h*) < (>) 0; En su tesis doctoral asociada, Zhang Zhifen demostró bajo el mismo supuesto que cuando (h*) = 0 (k = 0, 1, 2,..., n-1), y (h*) ≠ 0, hay una suficientemente pequeño ε0>0, δ0>0. El sistema (2) tiene como máximo n ciclos límite en δ(Гh*)=U Гh, cuando |ε|ε0. Este resultado fue citado en "Cuarenta años de matemáticas soviéticas". 3. Ciclicidad de los anillos poligonales Los anillos poligonales se dividen en dos categorías: codimensión infinita y codimensión k finita. Para el primer tipo de anillo, Zhang Zhifen y su alumno Li Baoyi demostraron que la ciclicidad de S(2) es de nivel 2 bajo ciertas condiciones no degeneradas. Para un anillo con codimensión k, se sabe que su ciclicidad E(k)≤k, cuando k=1,2 E(k)>k, cuando k≥4; La estudiante de doctorado de Zhang, Zhao Liqin, respondió satisfactoriamente a esta pregunta en su artículo. Demostró que E(k)≤k, si y sólo si k=1, 2, 3. 4. "Blue Sky Catastrophe" en una superficie cerrada, una especie de bifurcación global J. Palis y otros estudiosos publicaron Lecture Notes Math.Volumen 468 en 1975 en un artículo de , se plantearon cincuenta problemas no resueltos en sistemas dinámicos. El trigésimo séptimo problema es: ¿Puede ocurrir la "catástrofe del cielo azul" en una familia de campos vectoriales generales de un solo parámetro, es decir, en compacidad C∞ en la variedad M, definir la continuidad? familia de campos vectoriales ) período T (μ) → ∞, pero L (μ) no tiende a ningún punto singular de Desaparece repentinamente, pero esto no se debe a su proximidad a la singularidad. Li Weigu y Zhang Zhifen resolvieron este problema más a fondo en superficies cerradas. Demostraron que, además de S2 y P2, la "catástrofe del cielo azul" puede ocurrir en cualquier superficie cerrada, pero para las familias generales de un solo parámetro, solo puede ocurrir en la botella de Klein K2, y es que ocurre en un manera específica. 5. Sistemas integrables no hamiltonianos En cuanto al problema decimosexto de Hilbert débil, quedan muchos problemas que son difíciles. Entre ellos, cabe mencionar el no hamiltoniano integrable. sistema. Porque el factor de integración es generalmente muy irregular. Es difícil multiplicar la integral abeliana por tal factor, y sólo existen un puñado de trabajos. Pero si el sistema integrable tiene un centro racional, es decir, una curva cerrada algebraica racional rodea el centro, entonces, según la cuantificación de Darboux, el factor integral del sistema es una función racional. Para el caso en el que el centro está rodeado por una curva cerrada algebraica de bajo orden, Zhang Zhifen y sus colegas demostraron que, para todos los sistemas, cuando el centro está rodeado por una curva algebraica cuadrática, entonces N(n)=O(n). Para todos los sistemas polinomiales cuadráticos, cuando hay una curva algebraica cúbica o una curva algebraica cuártica cerca del centro, N (n) = O (n). Estos esfuerzos son un paso hacia la solución de un problema difícil. En las tres direcciones de investigación científica mencionadas anteriormente, Zhang Zhifen, junto con estudiantes y colegas, ha publicado más de 50 artículos en revistas nacionales y extranjeras. "El problema del número de ciclos límite de la ecuación de Liner y varios ejemplos de sistemas dinámicos topológicos" ganó el segundo premio del Premio al Progreso Científico y Tecnológico de 1988 de la Comisión Estatal de Educación. Enseñanza y formación de estudiantes de posgrado Desde 1957, en el trabajo de enseñar y educar a las personas, el enfoque principal de Zhang Zhifen ha sido la formación de estudiantes universitarios de último año y estudiantes de posgrado. Se dio cuenta de que es una tarea muy ardua cultivar talentos de alta calidad para el país, para que puedan seguir avanzando en puestos futuros y paulatinamente situarse a la vanguardia del desarrollo disciplinar. Desde la década de 1960, Zhang Zhifen ha ofrecido varios cursos especializados sobre la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales para estudiantes universitarios de último año y estudiantes de posgrado. Posteriormente, basándose en estas conferencias, colaboró con Ding Tongren, Huang Wenzao y. Dong Zhenxi Fue escrito como libro de texto y publicado por Science Press en 1985 como Serie Fundamentos de Matemáticas Modernas. Fue reimpreso en 1997 y traducido al inglés por American Mathematical Society Press en 1992 y publicado como Volumen 101 de la Traducción de monografías de matemáticas. Serie. Al mismo tiempo, Zhang Zhifen, Ding Tongren, Huang Wenzao y otros cooperaron para abrir un seminario sobre sistemas dinámicos topológicos para estudiantes de último año y profesores jóvenes. Los materiales didácticos básicos son los mentores de Zhang Zhifen, Nemetsky y V.V. Los capítulos relevantes de la "Teoría cualitativa" (de Stepanov) y sus dos artículos completos han capacitado a dos estudiantes universitarios de seis años, que han completado más de diez tesis de graduación, algunas de las cuales alcanzaron el nivel de tesis de maestría. Estos artículos, junto con los completados por los profesores, responden a la mitad de las preguntas sin respuesta enumeradas en el completo artículo de Nemetsky. Durante más de diez años desde 1981, Zhang Zhifen, Li Chengzhi, Li Weigu y otros han organizado continuamente seminarios sobre teoría de bifurcación de campos vectoriales y sistemas dinámicos, y han leído sistemáticamente algo de literatura básica y nuevos resultados importantes. Las actividades académicas del seminario han ampliado enormemente los horizontes de profesores y estudiantes. En cuanto a la formación de posgrado, además de cuestiones como la procedencia de los estudiantes, Zhang Zhifen se dio cuenta de que para los profesores, la primera prioridad es elegir un tema, que debe basarse en la medida de lo posible en la situación real de los estudiantes y la dirección. El papel debe estar más cerca de la vanguardia, por lo que vale la pena continuar explorando después de graduarse. En segundo lugar, debemos capacitarlos en todo el proceso, desde leer literatura, hacer preguntas hasta resolver problemas. Cada trabajo debe contener algunos puntos difíciles que los estudiantes deben abordar por sí solos, de modo que puedan mejorar sus habilidades y confianza después de graduarse, y aún tener el coraje de realizar trabajos de investigación de forma independiente después de graduarse. Los seminarios que dirige también desempeñan un papel importante en la formación de posgrado. Durante este período, Zhang Zhifen capacitó a 8 estudiantes de maestría y 11 estudiantes de doctorado. Hoy en día, la mayoría de ellos se han convertido en expertos y profesores en instituciones relevantes, incluidos Li Chengzhi, Zheng Zhiming, Li Weigu, Zhang Weinian, Li Cuiping, Xiao Dongmei, Cao Yongluo, Qi Dongwen, Wang Lanyu, Zhao Liqin, Zhao Yulin, Li Baoyi. , Wang Tianxi, etc.