Ejemplos de reducción al absurdo

Reductio ad absurdum

La reducción ad absurdum, también llamada absurdo, es un método de argumentación que primero supone que una determinada proposición no es verdadera (es decir, bajo las condiciones de la proposición original). proposición, La conclusión no está establecida), y luego infiere resultados obviamente contradictorios, concluyendo así que la hipótesis original no está establecida y la proposición original está probada. El método de prueba por contradicción es similar al método de reducción al absurdo, la diferencia es que el método de prueba por contradicción se limita a inferir resultados lógicamente contradictorios, mientras que el método de reducción al absurdo no sólo incluye inferir resultados contradictorios, sino también. incluye inferir resultados que son inconsistentes con los hechos o resultados que son obviamente absurdos e increíbles. Definición básica

Reductio ad absurdum a menudo se llama Reductio ad absurdum, que en latín significa "transformación en lo imposible", derivado del griego "? ει? το αδυνατον παγωγη", que fue utilizado a menudo por Arquímedes. .

Principios de lógica

Principios

Reductio ad absurdum

Cuando muchos libros de texto mencionan la prueba por contradicción, solo hablan brevemente de la lógica. de prueba por prueba. El principio es que la verdad y la falsedad de la proposición inversa y la proposición original son las mismas. Pero el proceso de operación real también utiliza otro principio.

La proposición original y la negación de la proposición original son opuestas: si la proposición original es verdadera, entonces la negación de la proposición original es falsa, y si la proposición original es verdadera, entonces la negación de la proposición original es falsa, y si la La proposición original es falsa, entonces la negación de la proposición original es verdadera. Esto puede entenderse desde la perspectiva de la teoría de conjuntos.

Proceso de operación

Para demostrar: proposición original: p=>q es verdadera

Primero niega la conclusión de la proposición original,

A partir de esta conclusión negativa se deduce la contradicción,

Entonces la negación de la proposición es verdadera: no q => no p es verdadera

Reutilizar la proposición original y la proposición inversa Verdadero y falso son consistentes,

Malentendido

La negación de una proposición falsa y la negación de una proposición son dos conceptos diferentes

La negación de una proposición sólo niega la conclusión de la proposición original.

Proposición original: p=>q

Proposición negativa: no p=>no q

La negación de la proposición: p=>no q

No existe una conexión necesaria entre la verdad y la falsedad de la proposición original y la negación de la proposición original, pero la proposición original y la negación de la proposición original son existencias opuestas. Si una es verdadera, la otra debe. ser falso.

Explicación detallada

El método de prueba por contradicción es un tipo de "método de prueba indirecta", que es un método de prueba que prueba desde la dirección opuesta, es decir: afirmando la proposición. pero negando la conclusión y derivando contradicciones mediante el razonamiento, para probar la proposición original. El matemático francés Hadamard resumió la esencia de la prueba por contradicción: "Si se afirma la hipótesis del teorema pero se niega su conclusión, se producirán contradicciones". Específicamente, el método de prueba por contradicción consiste en partir de la antítesis, tomar como condición la negación de la conclusión de la proposición, hacer que contradiga la condición y afirmar la conclusión de la proposición, de modo que la proposición quede demostrada.

Reductio ad absurdum

Al aplicar la prueba por contradicción para probar una pregunta, se debe utilizar "hipótesis inversa", de lo contrario no será prueba por contradicción. Cuando se utiliza la prueba por contradicción para probar una pregunta, si solo hay un aspecto de la proposición que se debe probar, entonces solo es necesario refutar esta situación. Este método de prueba por contradicción también se llama "reductio ad absurdum"; múltiples aspectos de la conclusión, entonces todas las situaciones negativas deben refutarse una por una antes de que se pueda inferir la conclusión original. Este método de prueba también se denomina "método exhaustivo".

Prueba

La prueba de prueba por contradicción utiliza principalmente la conclusión de que "una proposición y su inversa son a la vez verdaderas y falsas",

Una determinada proposición: si A entonces B,

1 Cuando A es verdadero y B es verdadero, entonces A→B es verdadero,

2. →B es falso,

3. Cuando A es falso y B es verdadero, entonces A→B es verdadero,

4. →B es verdadera,

∴Una proposición y su inversa son verdaderas y falsas

Es decir, preguntas sobre 〉=〈:

Mayor que -〉 Antónimo: menor o igual que

p>

Ambos son mayores que -> Antónimo: al menos uno no es mayor que

Menor que -> Antónimo: es mayor que o igual a

Ambos son menores que -> Antónimo: Al menos uno es No menor que

Es decir, la prueba por contradicción es correcta.

El primer equivalente a si A entonces B es su proposición inversa: si ﹁B entonces ﹁A

Suponga ﹁B, luego deduzca ﹁A, lo que significa que la proposición inversa es verdadera , entonces la proposición original también es verdadera.

Sin embargo, en el proceso de deducción real, es bastante difícil deducir "A", por lo que se transforma en deducir el contenido con el mismo efecto que "A". ". Esto tiene el mismo efecto. Es una contradicción con A (condición conocida), o una contradicción con definiciones conocidas, teoremas, hechos que todos conocen, etc.

Uso

El método de prueba por contradicción se utiliza a menudo en matemáticas. Cuando la proposición es difícil o imposible de probar de frente, es necesario utilizar el método de prueba por contradicción, que es el llamado "contrario a la verdad".

Newton dijo una vez: “El método de prueba por contradicción es una de las armas más sofisticadas de un matemático”. En términos generales, la prueba por contradicción se utiliza a menudo para demostrar que la prueba positiva es difícil y las situaciones son muchas o complejas, mientras que la prueba inversa es una cuestión relativamente sencilla y el problema puede resolverse de forma muy sencilla.

La prueba de la contradicción se puede resumir brevemente como "negación → conclusión de la contradicción → negación". Es decir, partiendo de una conclusión negativa, llegando a una contradicción y llegando a una nueva negación, se puede considerar que la idea básica de la reducción es la dialéctica "negación de la negación".

Para demostrar que "si P, entonces Q" es una proposición verdadera, se parte de la conclusión opuesta y se extrae una contradicción, de modo que la proposición original sea una proposición verdadera.

Pasos de prueba

(1) Contrahipótesis: Suponga que la conclusión de la proposición no es verdadera, es decir, suponga que lo contrario de la conclusión es verdadero.

(2) Reductio ad absurdum: A partir de esta proposición se obtiene una contradicción mediante el razonamiento y la prueba.

(3) Conclusión: Juzgar por la contradicción que la hipótesis no está establecida, afirmando con ello que la conclusión de la proposición es correcta.

Tipos de preguntas aplicables

(1) Proposición de unicidad

(2) Pregunta negativa

(3) "Como máximo", " Al menos"

(4) Proposición de necesidad

(5) Proposición inicial

(6) Proposición de infinito

( 7) Prueba de desigualdad

Ejemplos

Dos ejemplos de prueba por contradicción

Demostración: Hay infinitos números primos.

Esta antigua proposición fue propuesta originalmente por el antiguo matemático griego Euclides (Euclides de Alejandría,

Suponiendo que la proposición no es cierta, entonces solo hay un número finito de números primos,

En este momento, sea N=a1*a2*...*an+1, entonces todos los ai (i=1,2,...,n) obviamente no son factores de N, entonces hay dos posibilidades: o N tiene otro factor primo, o N en sí es un número primo, pero obviamente N>ai (i=1,2...n). En cualquier caso, contradecirá la hipótesis. Prueba,

Prueba: Raíz dos es un número irracional

Suponiendo que la proposición no es verdadera, entonces √2 es un número racional, asumiendo √2=n/m. , que es la forma de la fracción más simple.

Entonces n∧2/m∧2=2,

Entonces n∧2 es un número par, entonces n es par. número,

Entonces 2m∧2= 4x∧2

Entonces m∧2=2x∧2

Entonces m también es un número par

Entonces myn tienen un factor común de 2,

Entonces √2 es un número irracional.

¡Esta prueba es breve y poderosa, y refleja plenamente la sabiduría del prover y la generalidad y belleza de las matemáticas